Kita diberi persamaan kombinasi berikut:

$\binom{n+2}{3} = \binom{n}{4}$

Langkah-langkah untuk menentukan nilai $n$:

Langkah 1: Gunakan rumus kombinasi

Rumus kombinasi umum adalah:

$\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!}$

Kita bisa menerapkan rumus ini untuk kedua sisi persamaan:

$\binom{n+2}{3} = \frac{(n+2)!}{3!(n+2-3)!} = \frac{(n+2)!}{3!(n-1)!}$ dan $\binom{n}{4} = \frac{n!}{4!(n-4)!}$

Langkah 2: Sederhanakan persamaan

Persamaan awal kita sekarang menjadi:

$\frac{(n+2)!}{3!(n-1)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!}$

Sekarang kita bisa menyederhanakan faktorial dari $(n+2)!$ dan $n!$:

$\frac{(n+2)(n+1)n!}{3! (n-1)!} = \frac{n!}{4! (n-4)!}$

Hapus $n!$ dari kedua sisi:

$\frac{(n+2)(n+1)}{3! (n-1)!} = \frac{1}{4! (n-4)!}$

Karena $3! = 6$ dan $4! = 24$, persamaan menjadi:

$\frac{(n+2)(n+1)}{6} = \frac{1}{24}$

Langkah 3: Selesaikan persamaan

Kalikan kedua sisi persamaan dengan 24 untuk menghilangkan penyebut:

$4(n+2)(n+1) = 1$

Sekarang distribusikan pada ruas kiri:

$4(n^2 + 3n + 2) = 1$

Kemudian bagikan:

$4n^2 + 12n + 8 = 1$

Kurangi 1 dari kedua sisi:

$4n^2 + 12n + 7 = 0$

Langkah 4: Gunakan rumus kuadrat

Persamaan di atas adalah persamaan kuadrat. Kita dapat menyelesaikannya dengan rumus kuadrat:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Untuk persamaan $4n^2 + 12n + 7 = 0$, nilai $a = 4$, $b = 12$, dan $c = 7$. Maka kita substitusikan ke dalam rumus:

$n = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(4)(7)}}{2(4)}$ $n = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 112}}{8}$ $n = \frac{-12 \pm \sqrt{32}}{8}$ $n = \frac{-12 \pm 4\sqrt{2}}{8}$ $n = \frac{-12}{8} \pm \frac{4\sqrt{2}}{8}$ $n = -1.5 \pm 0.5\sqrt{2}$

Jadi, nilai $n$ dari persamaan kuadrat ini adalah:

$n \approx -1.5 \pm 0.5\sqrt{2}$

Jika Anda ingin melanjutkan dengan solusi yang lebih numerik atau analitik, beri tahu saya!

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan lanjutan terkait:

1. Apa perbedaan antara permutasi dan kombinasi?
2. Bagaimana cara menghitung kombinasi tanpa kalkulator?
3. Apa aplikasi praktis dari kombinasi dalam kehidupan nyata?
4. Mengapa faktorial penting dalam menghitung kombinasi?
5. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang lebih kompleks?

Tip: Saat menyelesaikan persamaan kuadrat, selalu cek diskriminan ($b^2 - 4ac$) untuk memastikan apakah solusinya real atau kompleks.