Kvadratu čiji su susjedni vrhovi A(-5, 6) i B(-5, -2) upisana je kružnica. Odredite:

a) jednadžbu te kružnice b)

opseg lika omeđenog kružnicom i kvadratom.

Za rješavanje ovog zadatka prvo ćemo analizirati pozicije točaka \( A \) i \( B \) te odrediti dimenzije kvadrata.

### Korak 1: Određivanje stranice kvadrata

Točke \( A(-5, 6) \) i \( B(-5, -2) \) imaju iste x-koordinate, što znači da se nalaze na vertikalnoj liniji. Da bismo odredili duljinu stranice kvadrata, izračunajmo udaljenost između točaka \( A \) i \( B \):

\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-5 - (-5))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{0 + 64} = 8
\]

Dakle, duljina stranice kvadrata je 8.

### Korak 2: Središte kvadrata

Središte kvadrata nalazi se na sredini između točaka \( A \) i \( B \). Koordinate središta (C) su sredina između koordinata A i B:

\[
C = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{-5 + (-5)}{2}, \frac{6 + (-2)}{2} \right) = (-5, 2)
\]

### Korak 3: Jednadžba upisane kružnice

Budući da je kružnica upisana u kvadrat, njezin polumjer je jednak polovici duljine stranice kvadrata. Dakle, polumjer \( r \) kružnice je:

\[
r = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4
\]

Jednadžba kružnice sa središtem u točki \( C(-5, 2) \) i polumjerom \( r = 4 \) glasi:

\[
(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 4^2
\]

To jest:

\[
(x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16
\]

### Korak 4: Opseg lika omeđenog kružnicom i kvadratom

Opseg kvadrata iznosi:

\[
P_{kvadrat} = 4 \times duljina\_stranice = 4 \times 8 = 32
\]

Opseg kružnice je:

\[
P_{kruznica} = 2 \pi r = 2 \pi \times 4 = 8\pi
\]

**Zaključak:**

a) Jednadžba kružnice je: \((x + 5)^2 + (y - 2)^2 = 16\)

b) Opseg lika omeđenog kružnicom i kvadratom iznosi \(32 + 8\pi\).

---

Želite li detaljnije objašnjenje ili imate dodatnih pitanja?

**Povezana pitanja:**

1. Kako izračunati udaljenost između dvije točke u ravnini?
2. Kako se izračunava duljina stranice kvadrata pomoću udaljenosti dviju susjednih točaka?
3. Što predstavlja upisana kružnica u kvadratu i kako se određuje njezin polumjer?
4. Kako se piše jednadžba kružnice u općem obliku?
5. Kako izračunati opseg i površinu kružnice?

**Savjet:** U matematici, središte kvadrata uvijek je sredina dijagonale, što se može koristiti za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Explore how to determine the equation of a circle inscribed in a square with vertices at (-5, 6) and (-5, -2). Calculate the perimeter of the area enclosed by the circle and square. Suitable for high school geometry students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation