Encuentra la ecuación general de la circunferencia con radio 5 y centro 𝐶(−1, −3).

Para encontrar la ecuación general de una circunferencia con radio \( r \) y centro \( C(h, k) \), utilizamos la fórmula:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

En este caso, el centro es \( C(-1, -3) \) y el radio es \( 5 \). Sustituimos estos valores en la fórmula:

\[
(x - (-1))^2 + (y - (-3))^2 = 5^2
\]

Simplificamos los signos negativos:

\[
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 25
\]

Expandimos ambos binomios:

\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]

\[
(y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9
\]

Sustituimos estas expansiones en la ecuación de la circunferencia:

\[
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 25
\]

Sumamos los términos constantes:

\[
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 25
\]

\[
x^2 + 2x + y^2 + 6y + 10 = 25
\]

Restamos 25 en ambos lados para obtener la ecuación general:

\[
x^2 + 2x + y^2 + 6y + 10 - 25 = 0
\]

\[
x^2 + 2x + y^2 + 6y - 15 = 0
\]

Por lo tanto, la ecuación general de la circunferencia es:

\[
x^2 + 2x + y^2 + 6y - 15 = 0
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas que podrías considerar:
1. ¿Cómo se derivan las fórmulas de las cónicas?
2. ¿Cómo se encuentra la ecuación general de una elipse?
3. ¿Cómo se determina la ecuación de una parábola con vértice en \((h, k)\)?
4. ¿Cómo se encuentra la ecuación de una hipérbola?
5. ¿Cómo se utiliza la geometría analítica en la resolución de problemas?

**Tip:** Siempre verifica la correcta expansión de los binomios y la suma de términos constantes al trabajar con ecuaciones de cónicas.

Learn how to derive the general equation of a circle with radius 5 and center (-1, -3) using coordinate geometry. This problem involves key concepts such as the equation of a circle and quadratic equations, suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation