https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1727822420062ttfw3ygx.jpg

tolong bantu jawab menggunakan bahasa Indonesia 

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y}
\]

dengan kondisi awal \( y = 3 \) ketika \( x = 2 \), kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel.

### Langkah 1: Pisahkan variabel
Pisahkan variabel \( y \) dan \( x \) di kedua sisi persamaan:

\[
2y \, dy = x \, dx
\]

### Langkah 2: Integrasikan kedua sisi
Sekarang kita integrasikan kedua sisi persamaan:

\[
\int 2y \, dy = \int x \, dx
\]

Untuk sisi kiri:

\[
\int 2y \, dy = y^2 + C_1
\]

Untuk sisi kanan:

\[
\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2
\]

Namun, kita bisa menggabungkan konstanta \( C_1 \) dan \( C_2 \) menjadi satu konstanta \( C \) yang mewakili keduanya:

\[
y^2 = \frac{x^2}{2} + C
\]

### Langkah 3: Gunakan kondisi awal untuk mencari konstanta \( C \)
Gunakan informasi bahwa \( y = 3 \) ketika \( x = 2 \) untuk menentukan nilai \( C \).

Substitusi \( y = 3 \) dan \( x = 2 \) ke dalam persamaan:

\[
3^2 = \frac{2^2}{2} + C
\]

\[
9 = \frac{4}{2} + C
\]

\[
9 = 2 + C
\]

\[
C = 7
\]

### Langkah 4: Tuliskan solusi akhir
Sekarang kita substitusikan nilai \( C \) ke dalam persamaan umum:

\[
y^2 = \frac{x^2}{2} + 7
\]

Atau, dalam bentuk eksplisit untuk \( y \):

\[
y = \sqrt{\frac{x^2}{2} + 7}
\]

Inilah solusi umum dari persamaan diferensial yang diberikan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan? Berikut adalah beberapa pertanyaan yang dapat membantu memperdalam pemahaman:

1. Mengapa kita perlu memisahkan variabel untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini?
2. Bagaimana metode integrasi bekerja dalam konteks pemisahan variabel?
3. Apa peran kondisi awal dalam menentukan solusi khusus persamaan diferensial?
4. Bagaimana jika kondisi awal berbeda? Apakah solusinya akan berubah secara signifikan?
5. Apa metode alternatif lain yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial seperti ini?

**Tip:** Saat menyelesaikan persamaan diferensial, selalu pastikan untuk memeriksa apakah kondisi awal sudah diterapkan dengan benar untuk mendapatkan solusi spesifik yang sesuai.

Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut: dy/dx = x/2y dengan y = 3 di x = 2.

Pelajari cara menyelesaikan persamaan diferensial dy/dx = x / 2y menggunakan metode pemisahan variabel dan integrasi, dengan kondisi awal y = 3 saat x = 2. Cocok untuk siswa kelas 11-12 atau mahasiswa tahun pertama.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation