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En la siguiente figura, ¿cuánto vale x si O es el centro del círculo y el arco AB es 2/5 del perímetro del círculo?

En este problema, tenemos un círculo con centro en \( O \) y dos puntos \( A \) y \( B \) sobre el círculo, formando un ángulo central \( x \). Sabemos que el arco \( AB \) es \( \frac{2}{5} \) del perímetro del círculo.

Para resolver esto, necesitamos aplicar la relación entre el arco y el ángulo central en un círculo.

### Paso 1: Perímetro del círculo
El perímetro del círculo es igual a su circunferencia:
\[
P = 2\pi r
\]
donde \( r \) es el radio del círculo.

### Paso 2: Relación entre el ángulo central y el arco
El ángulo central \( x \) en radianes está relacionado con la longitud del arco correspondiente de la siguiente manera:
\[
\text{Longitud del arco} = \frac{x}{2\pi} \cdot P
\]
En este caso, sabemos que el arco \( AB \) es \( \frac{2}{5} \) del perímetro del círculo, por lo que:
\[
\text{Longitud del arco AB} = \frac{2}{5} \cdot P
\]

### Paso 3: Igualar las ecuaciones
La longitud del arco también se puede expresar en función del ángulo \( x \), así que:
\[
\frac{x}{2\pi} \cdot 2\pi r = \frac{2}{5} \cdot 2\pi r
\]
Simplificando:
\[
x = \frac{2}{5} \cdot 2\pi
\]
\[
x = \frac{4\pi}{5}
\]

### Resultado
El valor del ángulo \( x \) es \( \frac{4\pi}{5} \) radianes.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir tu conocimiento:

1. ¿Cómo se transforma un ángulo en radianes a grados?
2. ¿Qué relación existe entre el ángulo central y el ángulo inscrito en un círculo?
3. ¿Cómo se calcula la longitud de un arco en función del radio y el ángulo en grados?
4. ¿Cómo se calcula el área de un sector circular dado un ángulo central?
5. ¿Qué diferencia hay entre el ángulo central y el ángulo circunferencial?

**Tip:** Recuerda que 1 radián equivale aproximadamente a 57.3 grados.

Aprende a calcular el valor del ángulo central x en un círculo, donde el arco AB es 2/5 del perímetro del círculo. Se utilizan conceptos clave de geometría, como el teorema del ángulo central y la fórmula del perímetro.

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