L'ensemble \( E = \left\{ \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^* \right\} \) est constitué des inverses des entiers naturels non nuls. Cela signifie que les éléments de \( E \) sont :

\[
E = \left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \right\}
\]

### Recherche du sup (supremum) de \( E \) :
Le supremum (ou borne supérieure) d'un ensemble est la plus petite valeur qui est supérieure ou égale à tous les éléments de cet ensemble.

#### Analyse de l'ensemble \( E \) :
- Les éléments de \( E \) sont de la forme \( \frac{1}{n} \), où \( n \in \mathbb{N}^* \) (c'est-à-dire \( n \geq 1 \)).
- Quand \( n \) augmente, \( \frac{1}{n} \) devient de plus en plus petit. Par exemple :
  - Pour \( n = 1 \), \( \frac{1}{1} = 1 \),
  - Pour \( n = 2 \), \( \frac{1}{2} = 0.5 \),
  - Pour \( n = 3 \), \( \frac{1}{3} \approx 0.333 \),
  - Et ainsi de suite. 

Cela signifie que l'ensemble des éléments de \( E \) est décroissant et tend vers 0 lorsque \( n \) devient très grand.

#### Conclusion :
Le plus grand élément de cet ensemble est \( 1 \), qui correspond à \( \frac{1}{1} \). Par conséquent, le supremum de \( E \) est \( 1 \), car :

- \( 1 \) est une borne supérieure de \( E \) (aucun élément de \( E \) n'est supérieur à \( 1 \)),
- Il est aussi le plus petit de ces bornes, car il existe un élément dans \( E \) qui est exactement égal à \( 1 \).

Ainsi, on a :

\[
\sup E = 1
\]

### En résumé :
Le supremum de l'ensemble \( E = \left\{ \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^* \right\} \) est \( \sup E = 1 \).

---

Souhaitez-vous des explications supplémentaires ou avez-vous des questions sur d'autres notions relatives à ce calcul ?

Voici cinq questions en lien avec ce sujet :
1. Quelle est la différence entre un supremum et un maximum dans un ensemble ?
2. Comment calculer l'infimum de l'ensemble \( E \) ?
3. Que se passe-t-il si l'on considère l'ensemble \( F = \{ 1/n, n \in \mathbb{N} \} \) incluant \( n = 0 \) ?
4. Quel est le comportement asymptotique de \( \frac{1}{n} \) lorsque \( n \to \infty \) ?
5. Comment le concept de supremum s'applique-t-il aux ensembles infinis ?

**Astuce** : Pour déterminer le supremum d'un ensemble, il est souvent utile de vérifier si l'ensemble est borné et s'il atteint un maximum, ce qui simplifie grandement le calcul.

Découvrez comment calculer le supremum de l'ensemble E={1/n, n ∈ N*}, avec une explication détaillée de la notion de supremum, des propriétés des suites décroissantes et des exemples pratiques. Ce problème est adapté aux étudiants de niveau lycée.

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