L'ensemble $E$ est donné par : $E = \left\{ \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^* \right\}$ où $\mathbb{N}^*$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls, c'est-à-dire $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, \dots \}$.

Interprétation de $E$ :

Cet ensemble contient les éléments de la forme $\frac{1}{n}$ où $n$ est un entier naturel positif. Ainsi, les premiers éléments de $E$ sont : $E = \left\{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \right\} = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \}$

Calcul du supremum de $E$ :

L'élément $\frac{1}{n}$ décroît lorsque $n$ augmente. Le plus grand élément de l'ensemble $E$ est donc $1$, qui correspond à $n = 1$. En d'autres termes, $1$ est l'élément maximum de $E$.

Le supremum (ou borne supérieure) d'un ensemble est la plus petite valeur qui est supérieure ou égale à tous les éléments de cet ensemble. Comme $1$ est le plus grand élément de $E$, le supremum de $E$ est donc : $\sup E = 1$

Conclusion :

Le supremum de $E$ est $1$.

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Si tu souhaites plus de détails ou si quelque chose n'est pas clair, n'hésite pas à demander ! Voici quelques questions pour aller plus loin :

1. Quelle est la borne inférieure de cet ensemble $E$ ?
2. Si on modifie l'ensemble $E$ en ajoutant un élément, comment cela affecte-t-il le supremum ?
3. Que se passe-t-il si on remplace $\mathbb{N}^*$ par $\mathbb{N}$ dans cet ensemble ?
4. Comment prouver que $1$ est bien le supremum de cet ensemble ?
5. Quelle est la notion de "limite" pour une suite comme $\frac{1}{n}$ ?

Astuce : Pour trouver une borne supérieure ou inférieure d'un ensemble, il peut être utile de repérer les éléments extrêmes (maximum ou minimum) et de vérifier si l'ensemble est majoré ou minoré.