L'énoncé donné semble présenter une expression mathématique sous la forme d'un ensemble, mais il contient quelques erreurs de syntaxe. Je vais le réécrire avec une notation plus claire pour tenter de clarifier ce qui est demandé :

Supposons que l'ensemble soit défini comme : $E = \left\{ \frac{p(-1)^n + 1}{p} \ \bigg| \ (n, p) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^* \right\},$ où $\mathbb{N}$ représente les entiers naturels (incluant 0) et $\mathbb{N}^*$ les entiers naturels non nuls.

Nous cherchons maintenant l'infimum (inf) et le supremum (sup) de cet ensemble $E$.

Analyse de l'expression

L'expression $\frac{p(-1)^n + 1}{p}$ peut être simplifiée en fonction de la valeur de $n$ :

• Si $n$ est pair, alors $(-1)^n = 1$, donc l'expression devient : $\frac{p \cdot 1 + 1}{p} = \frac{p + 1}{p} = 1 + \frac{1}{p}.$
• Si $n$ est impair, alors $(-1)^n = -1$, donc l'expression devient : $\frac{p \cdot (-1) + 1}{p} = \frac{-p + 1}{p} = -1 + \frac{1}{p}.$

Étude des bornes de l'ensemble $E$

1. Cas où $n$ est pair : $1 + \frac{1}{p}$

   • Lorsque $p \to \infty$, alors $\frac{1}{p} \to 0$, donc $1 + \frac{1}{p} \to 1$.
   • La valeur minimale atteinte dans ce cas est 1 lorsque $p \to \infty$.

2. Cas où $n$ est impair : $-1 + \frac{1}{p}$

   • Lorsque $p \to \infty$, alors $\frac{1}{p} \to 0$, donc $-1 + \frac{1}{p} \to -1$.
   • La valeur maximale atteinte dans ce cas est -1 lorsque $p \to \infty$.

Conclusion

• L'infimum de $E$ est $-1$, car pour $n$ impair et $p$ suffisamment grand, l'expression s'approche de $-1$.
• Le supremum de $E$ est $1$, car pour $n$ pair et $p$ suffisamment grand, l'expression s'approche de $1$.

Donc : $\inf(E) = -1 \quad \text{et} \quad \sup(E) = 1.$

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Questions associées

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Astuce

Lorsque vous analysez des ensembles définis par une formule, vérifiez d'abord les comportements limites en évaluant l'expression pour les valeurs extrêmes possibles des variables.