Задание предполагает, что нужно вычислить $R^2$, где $R$ — отношение на множестве $\{1, 2, 3\}$.

Отношение $R^2$ — это композиция отношения $R$ с самим собой. Для вычисления композиции отношения нужно найти такие пары $(a, c)$, для которых существует элемент $b$, что:

$(a, b) \in R \quad \text{и} \quad (b, c) \in R$

То есть, $R^2$ — это все возможные пары, которые можно получить при «переходе» через промежуточный элемент $b$.

Отношение $R$ состоит из следующих пар: $R = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$

Теперь вычислим $R^2$.

Шаги для вычисления $R^2$:

1. Для $a = 1$:

   • $(1, 1)$ и $(1, 1)$, $(1, 2)$, $(1, 3)$ дают: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$
   • $(1, 2)$ и $(2, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 3)$ дают: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$
   • $(1, 3)$ и $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$ дают: $(1, 1), (1, 2), (1, 3)$

2. Для $a = 2$:

   • $(2, 1)$ и $(1, 1)$, $(1, 2)$, $(1, 3)$ дают: $(2, 1), (2, 2), (2, 3)$
   • $(2, 2)$ и $(2, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 3)$ дают: $(2, 1), (2, 2), (2, 3)$
   • $(2, 3)$ и $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$ дают: $(2, 1), (2, 2), (2, 3)$

3. Для $a = 3$:

   • $(3, 1)$ и $(1, 1)$, $(1, 2)$, $(1, 3)$ дают: $(3, 1), (3, 2), (3, 3)$
   • $(3, 2)$ и $(2, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 3)$ дают: $(3, 1), (3, 2), (3, 3)$
   • $(3, 3)$ и $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$ дают: $(3, 1), (3, 2), (3, 3)$

Ответ:

$R^2 = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}$

Отношение $R^2$ содержит те же элементы, что и $R$, то есть все возможные пары из $\{1, 2, 3\} \times \{1, 2, 3\}$.

Если у вас остались вопросы или нужно больше деталей, дайте знать!

Вопросы для понимания:

1. Как вычислить композицию отношений в общем виде?
2. Каковы свойства композиции отношений?
3. Можно ли определить, является ли отношение рефлексивным или симметричным, исходя из его элементов?
4. Что изменилось бы, если бы в $R$ не было некоторых элементов?
5. Как представить отношение графически?

Совет:

Для сложных отношений полезно представлять их графически: вершины обозначают элементы множества, а дуги — пары отношений.