4. Вычислите
R
2
R
2
. Укажите все элементы этого отношения. 1 балл
(1; 1)
(1; 2)
(1; 3)
(2; 1)
(2; 2)
(2; 3)
(3; 1)
(3; 2)
(3; 3)

Задание предполагает, что нужно вычислить \( R^2 \), где \( R \) — отношение на множестве \( \{1, 2, 3\} \). 

Отношение \( R^2 \) — это композиция отношения \( R \) с самим собой. Для вычисления композиции отношения нужно найти такие пары \( (a, c) \), для которых существует элемент \( b \), что:

\[
(a, b) \in R \quad \text{и} \quad (b, c) \in R
\]

То есть, \( R^2 \) — это все возможные пары, которые можно получить при «переходе» через промежуточный элемент \( b \).

Отношение \( R \) состоит из следующих пар:
\[
R = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}
\]

Теперь вычислим \( R^2 \).

### Шаги для вычисления \( R^2 \):

1. **Для \( a = 1 \)**:
    - \( (1, 1) \) и \( (1, 1) \), \( (1, 2) \), \( (1, 3) \) дают: \( (1, 1), (1, 2), (1, 3) \)
    - \( (1, 2) \) и \( (2, 1) \), \( (2, 2) \), \( (2, 3) \) дают: \( (1, 1), (1, 2), (1, 3) \)
    - \( (1, 3) \) и \( (3, 1) \), \( (3, 2) \), \( (3, 3) \) дают: \( (1, 1), (1, 2), (1, 3) \)

2. **Для \( a = 2 \)**:
    - \( (2, 1) \) и \( (1, 1) \), \( (1, 2) \), \( (1, 3) \) дают: \( (2, 1), (2, 2), (2, 3) \)
    - \( (2, 2) \) и \( (2, 1) \), \( (2, 2) \), \( (2, 3) \) дают: \( (2, 1), (2, 2), (2, 3) \)
    - \( (2, 3) \) и \( (3, 1) \), \( (3, 2) \), \( (3, 3) \) дают: \( (2, 1), (2, 2), (2, 3) \)

3. **Для \( a = 3 \)**:
    - \( (3, 1) \) и \( (1, 1) \), \( (1, 2) \), \( (1, 3) \) дают: \( (3, 1), (3, 2), (3, 3) \)
    - \( (3, 2) \) и \( (2, 1) \), \( (2, 2) \), \( (2, 3) \) дают: \( (3, 1), (3, 2), (3, 3) \)
    - \( (3, 3) \) и \( (3, 1) \), \( (3, 2) \), \( (3, 3) \) дают: \( (3, 1), (3, 2), (3, 3) \)

### Ответ:
\[
R^2 = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)\}
\]

Отношение \( R^2 \) содержит те же элементы, что и \( R \), то есть все возможные пары из \( \{1, 2, 3\} \times \{1, 2, 3\} \).

Если у вас остались вопросы или нужно больше деталей, дайте знать!

### Вопросы для понимания:
1. Как вычислить композицию отношений в общем виде?
2. Каковы свойства композиции отношений?
3. Можно ли определить, является ли отношение рефлексивным или симметричным, исходя из его элементов?
4. Что изменилось бы, если бы в \( R \) не было некоторых элементов?
5. Как представить отношение графически?

### Совет:
Для сложных отношений полезно представлять их графически: вершины обозначают элементы множества, а дуги — пары отношений.

Вычислите R^2. Укажите все элементы этого отношения. 1 балл (1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1) (3; 2) (3; 3)

Explore how to calculate R^2, the composition of a relation R with itself on the set {1, 2, 3}. This example covers key concepts in set theory and relations, including the composition of relations and its properties. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation