Uma criança, que ainda não sabe ler, cortou a palavra PROBABILIDADE em letras individuais, misturou e juntou as letras aleatoreamente. Qual a probabilidade aproximada de ela conseguir juntar a palavra corretamente?
13/5000000000

Para determinar a probabilidade de a criança conseguir juntar as letras da palavra "PROBABILIDADE" corretamente ao misturá-las aleatoriamente, devemos calcular a quantidade total de permutações possíveis das letras e compará-la com o número de maneiras corretas de formar a palavra, que é apenas uma.

A palavra "PROBABILIDADE" tem 13 letras, onde as letras B, I, e D aparecem duas vezes cada uma, e as demais aparecem uma vez. A fórmula para permutações de um conjunto com elementos repetidos é dada por:

\[ P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!} \]

onde:
- \( n \) é o número total de elementos,
- \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) são as frequências dos elementos repetidos.

No nosso caso:
- \( n = 13 \)
- As letras repetidas são B (2 vezes), I (2 vezes), e D (2 vezes).

Portanto, a fórmula para calcular o número de permutações é:

\[ P = \frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} \]

Calculando passo a passo:

1. \( 13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
2. \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
3. Então, a fórmula se torna:

\[ P = \frac{13!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{13!}{2 \times 2 \times 2} = \frac{13!}{8} \]

Agora, calculamos \( 13! \):

\[ 13! = 6227020800 \]

Então:

\[ P = \frac{6227020800}{8} = 778377600 \]

Assim, existem 778377600 maneiras diferentes de organizar as letras da palavra "PROBABILIDADE".

Como apenas uma dessas formas é a correta, a probabilidade de a criança formar a palavra "PROBABILIDADE" corretamente é:

\[ \text{Probabilidade} = \frac{1}{778377600} \]

Comparando com a aproximação fornecida:

\[ \frac{13}{5000000000} = 2.6 \times 10^{-9} \]

Esta é uma aproximação razoável, embora a probabilidade exata seja um pouco maior:

\[ \frac{1}{778377600} \approx 1.285 \times 10^{-9} \]

Portanto, a probabilidade exata de a criança formar a palavra corretamente é aproximadamente \( 1.285 \times 10^{-9} \), e a aproximação fornecida de \( \frac{13}{5000000000} \) é ligeiramente inferior, mas relativamente próxima.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão algumas perguntas relativas ao tópico abordado:

1. O que é uma permutação?
2. Como calcular \( n! \) para um número dado \( n \)?
3. Qual é a fórmula geral para permutações de elementos com repetições?
4. Por que dividimos \( 13! \) por \( 2! \cdot 2! \cdot 2! \) neste problema?
5. Como calcular a probabilidade de eventos em problemas de permutação?
6. Qual a diferença entre permutações e combinações?
7. Como calcular a probabilidade em um problema sem repetições?
8. O que significa dizer que uma probabilidade é "aproximada"?

**Dica:** Ao resolver problemas de permutação, sempre verifique se há elementos repetidos, pois isso muda o cálculo do número total de permutações possíveis.

Explore how to calculate the probability of correctly forming the word 'PROBABILIDADE' from randomly scrambled letters. Understand permutations, factorials, and specific calculations involved in solving this probability problem.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation