Tässä tehtävässä Liisa-Petteri pinosi tiilet pyramidimuotoon, jossa alimmaisella rivillä oli 100 tiiltä ja jokaisella seuraavalla rivillä 3 tiiltä vähemmän, kunnes ylimmälle riville jäi yksi tiili.

Tarkastellaan tätä tiilirakennelmaa aritmeettisena jonona:

• Ensimmäisellä rivillä (alimmaisella) on $a_1 = 100$ tiiltä.
• Toisella rivillä on $a_2 = 100 - 3 = 97$ tiiltä.
• Kolmannella rivillä on $a_3 = 97 - 3 = 94$ tiiltä.
• Tämä vähennys jatkuu, kunnes ylimmällä rivillä on yksi tiili.

Aritmeettisen jonon ominaisuudet:

• Ensimmäinen termi $a_1 = 100$.
• Vakioväli (d), eli termien välinen erotus, on $-3$.
• Viimeinen termi $a_n = 1$.

Aritmeettisen jonon yleinen kaava:

Jonon n. termi on muotoa $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d,$ missä $a_n = 1$, eli viimeisellä rivillä on yksi tiili. Voimme nyt ratkaista rivien lukumäärän $n$.

$1 = 100 + (n - 1) \cdot (-3),$ $1 - 100 = (n - 1) \cdot (-3),$ $-99 = (n - 1) \cdot (-3),$ $n - 1 = \frac{-99}{-3} = 33,$ $n = 34.$

Rakennelmassa on siis 34 riviä.

Tiilien kokonaismäärän laskeminen:

Aritmeettisen jonon summakaava on $S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2},$ missä $n = 34$, $a_1 = 100$ ja $a_n = 1$. Summaksi saadaan: $S_{34} = \frac{34 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{34 \cdot 101}{2} = \frac{3434}{2} = 1717.$

Vastaus:

Rakennelmaan kului yhteensä 1717 tiiltä.

Haluatko lisätietoja tai tarkennuksia? Tässä muutama laajentava kysymys:

1. Miten aritmeettisen jonon summakaava johdetaan?
2. Miten ratkaistaan aritmeettinen jono, jos termien erotus ei ole vakio?
3. Miten aritmeettista jonoa voisi soveltaa muissa rakentamiseen liittyvissä ongelmissa?
4. Kuinka paljon muuraustiiliä kuluisi, jos jokaisella rivillä vähennettäisiin 4 tiiltä?
5. Millä muilla tavoilla voitaisiin laskea rakennelman tiilimäärä?

Vinkki: Aritmeettisia jonoja voi hyödyntää myös silloin, kun tarvitaan arvioida piteneviä tai lyheneviä aikavälejä!