正の整数 $N$ を3で割ったときの余りが2である場合、すなわち $N \equiv 2 \pmod{3}$ です。このとき、$N$ の正の約数の総和を3で割ったときの余りを求めます。

まず、一般的な整数 $N$ の正の約数の総和を $\sigma(N)$ と表します。ここで、$N \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$N$ の正の約数もそれぞれ3で割った余りに応じてグループ化できます。

ステップ1: 約数の性質

$N = 3k + 2$ とおきます。ここで、 $k$ は整数です。

ステップ2: 約数の分類

$N$ の約数 $d$ も $3d + r_d$ （$r_d$ は $d$ を3で割った余り、すなわち $r_d \in \{0, 1, 2\}$）と表すことができます。

ステップ3: 余りの和の性質

すべての正の約数を考えると、以下のように分類できます。

• 3で割った余りが0の約数：$d \equiv 0 \pmod{3}$
• 3で割った余りが1の約数：$d \equiv 1 \pmod{3}$
• 3で割った余りが2の約数：$d \equiv 2 \pmod{3}$

約数の性質から、$N \equiv 2 \pmod{3}$ であるため、$N$ の正の約数もある程度の法則に従って3で割った余りを持ちます。特に、全ての正の約数 $d$ を考慮すると、その総和 $\sigma(N)$ もまた、3で割った余りが特定の値になります。

ステップ4: 総和の余りの求め方

全ての正の約数の総和 $\sigma(N)$ を3で割った余りを考えるために、以下の性質を利用します： $\sigma(N) \equiv \sigma(N \pmod{3}) \pmod{3}$

ここで、$N \equiv 2 \pmod{3}$ であるため、 $\sigma(N) \equiv \sigma(2) \pmod{3}$

ステップ5: 結論

$2$ の正の約数は $1$ と $2$ です。これらの総和は $1 + 2 = 3$ です。従って、 $\sigma(2) = 3$ です。よって、3で割った余りは $3 \div 3 = 1 \, \text{余り} \, 0$

したがって、正の整数 $N$ を3で割ったときの余りが2である場合、$N$ の正の約数の総和を3で割ったときの余りは常に $0$ です。

もし詳細や追加の質問があれば、教えてください。

次に考えるべき関連質問：

1. 他の余りに対する約数の総和の余りの計算方法は？
2. 一般的な数 $N$ に対する約数の総和の性質は？
3. $N \equiv 1 \pmod{3}$ の場合の約数の総和の余りは？
4. 特定の性質を持つ数の約数のパターンは？
5. 約数の総和に関連する他の数論の問題は？

Tip: 数論の問題を解く際には、数の性質や合同式を利用して一般的な解法を導くと効率的です。