Um livro de 201 páginas contém 32 erros distribuídos pelo livro aleatoriamente. Qual a probabilidade de que 6 páginas, escolhidas ao acaso, tenham, no máximo, um erro? (Sua resposta deve conter a variável e)

Para resolver essa questão, vamos modelar a situação usando a distribuição de Poisson, que é adequada quando estamos lidando com eventos raros distribuídos ao acaso, como erros em um livro.

### Passo 1: Taxa média de erros por página
Primeiro, precisamos calcular a taxa média de erros por página. Se temos 32 erros distribuídos por 201 páginas, a taxa média de erros por página, \(\lambda\), é dada por:

\[
\lambda = \frac{32}{201}
\]

### Passo 2: Distribuição de Poisson
Para uma página específica, o número de erros \(k\) segue uma distribuição de Poisson com a média \(\lambda\). A função de probabilidade da distribuição de Poisson é:

\[
P(X = k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}
\]

### Passo 3: Probabilidade de 0 ou 1 erro em uma única página
Vamos calcular as probabilidades de uma página conter 0 ou 1 erro.

- **Probabilidade de 0 erro em uma página:**

\[
P(X = 0) = \frac{\lambda^0 \cdot e^{-\lambda}}{0!} = e^{-\lambda}
\]

- **Probabilidade de 1 erro em uma página:**

\[
P(X = 1) = \frac{\lambda^1 \cdot e^{-\lambda}}{1!} = \lambda \cdot e^{-\lambda}
\]

### Passo 4: Probabilidade de 0 ou 1 erro em uma página
A probabilidade de que uma página tenha 0 ou 1 erro é:

\[
P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-\lambda} + \lambda \cdot e^{-\lambda} = e^{-\lambda} (1 + \lambda)
\]

### Passo 5: Probabilidade de 0 ou 1 erro em 6 páginas
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de que 6 páginas, escolhidas ao acaso, tenham no máximo um erro no total. Se cada página é independente, a probabilidade conjunta para 6 páginas é:

\[
P(X_1 \leq 1, X_2 \leq 1, \ldots, X_6 \leq 1) = \left[ e^{-\lambda} (1 + \lambda) \right]^6
\]

### Resposta Final
A probabilidade de que 6 páginas escolhidas ao acaso tenham, no máximo, um erro é dada por:

\[
P(\text{máximo de 1 erro em 6 páginas}) = \left[ e^{-\frac{32}{201}} \cdot \left(1 + \frac{32}{201}\right) \right]^6
\]

Esse é o resultado em termos da variável \(e\).

---

Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como a distribuição de Poisson é aplicada em outras situações de eventos raros?
2. Como mudaria a probabilidade se o número de páginas fosse diferente?
3. O que aconteceria com a probabilidade se aumentássemos o número de erros no livro?
4. Qual seria a probabilidade de encontrar exatamente 2 erros em uma página?
5. Como calcular a variância e o desvio padrão para a distribuição de Poisson nesse contexto?

**Dica:** A distribuição de Poisson é especialmente útil quando estamos analisando o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, com uma média conhecida e eventos independentes entre si.

Explore how to calculate the probability of finding a specified number of errors in randomly chosen pages using the Poisson distribution. This problem involves determining the likelihood of having at most one error on six randomly selected pages from a book with a known error rate.

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