Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Prüfer genau 10 Geräte testen muss, betrachten wir ein Problem der hypergeometrischen Verteilung. Das Problem basiert darauf, dass die vier defekten Geräte aus einer Gesamtheit von $N = 25$ Geräten zufällig verteilt sind.

Gegeben:

• Gesamtzahl der Geräte: $N = 25$
• Anzahl defekter Geräte: $K = 4$
• Anzahl nicht defekter Geräte: $N - K = 21$
• Der Prüfer testet so lange, bis alle defekten Geräte entdeckt sind.
• Die Wahrscheinlichkeit, genau $n = 10$ Geräte testen zu müssen, wird gesucht.

Der Prüfer findet das vierte defekte Gerät mit dem 10. Test. Das bedeutet:

1. Unter den ersten $9$ getesteten Geräten befinden sich $3$ defekte und $6$ nicht defekte Geräte.
2. Das $10.$ Gerät ist das vierte defekte.

Formel für die Wahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit kann mit einer Kombination berechnet werden:

$P(X = 10) = \binom{9}{3} \cdot \binom{16}{6} \bigg/ \binom{25}{9}$

Hierbei:

• $\binom{9}{3}$: Wählt die $3$ defekten Geräte unter den ersten $9$ Tests aus.
• $\binom{16}{6}$: Wählt die $6$ nicht defekten Geräte unter den $21$ nicht defekten Geräten aus.
• $\binom{25}{9}$: Wählt die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen für die ersten $9$ Geräte aus.

Berechnung:

1. Berechnung der Binomialkoeffizienten: $\binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = 84$ $\binom{16}{6} = \frac{16!}{6! \cdot (16-6)!} = 8008$ $\binom{25}{9} = \frac{25!}{9! \cdot (25-9)!} = 2042975$

2. Wahrscheinlichkeit: $P(X = 10) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{16}{6}}{\binom{25}{9}}$ $P(X = 10) = \frac{84 \cdot 8008}{2042975}$ $P(X = 10) = \frac{672672}{2042975} \approx 0.3293 \, \text{(ca. 32.93\%)}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfer genau $10$ Geräte testen muss, beträgt etwa 32.93%.

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Haben Sie weitere Fragen oder benötigen Sie eine detailliertere Erklärung?

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5. Kann dieses Problem mit der negativen Binomialverteilung modelliert werden?

Tipp: Die hypergeometrische Verteilung eignet sich, wenn Sie ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population ziehen.