In vier von 25 Geräten, die in zufälliger Reihenfolge gestapelt sind, wurde ein defektes Bauteil eingebaut.
Ein Prüfer testet ein Gerät nach dem anderen, bis er alle vier Geräte mit dem falschen Bauteil entdeckt hat.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er dabei genau 10 Geräte prüfen muss ? 

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Prüfer genau 10 Geräte testen muss, betrachten wir ein Problem der hypergeometrischen Verteilung. Das Problem basiert darauf, dass die vier defekten Geräte aus einer Gesamtheit von \( N = 25 \) Geräten zufällig verteilt sind.

### Gegeben:
- Gesamtzahl der Geräte: \( N = 25 \)
- Anzahl defekter Geräte: \( K = 4 \)
- Anzahl nicht defekter Geräte: \( N - K = 21 \)
- Der Prüfer testet so lange, bis alle defekten Geräte entdeckt sind.
- Die Wahrscheinlichkeit, genau \( n = 10 \) Geräte testen zu müssen, wird gesucht.

Der Prüfer findet das vierte defekte Gerät mit dem 10. Test. Das bedeutet:
1. Unter den ersten \( 9 \) getesteten Geräten befinden sich \( 3 \) defekte und \( 6 \) nicht defekte Geräte.
2. Das \( 10. \) Gerät ist das vierte defekte.

### Formel für die Wahrscheinlichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit kann mit einer Kombination berechnet werden:

\[
P(X = 10) = \binom{9}{3} \cdot \binom{16}{6} \bigg/ \binom{25}{9}
\]

Hierbei:
- \( \binom{9}{3} \): Wählt die \( 3 \) defekten Geräte unter den ersten \( 9 \) Tests aus.
- \( \binom{16}{6} \): Wählt die \( 6 \) nicht defekten Geräte unter den \( 21 \) nicht defekten Geräten aus.
- \( \binom{25}{9} \): Wählt die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen für die ersten \( 9 \) Geräte aus.

### Berechnung:

1. Berechnung der Binomialkoeffizienten:
   \[
   \binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot (9-3)!} = 84
   \]
   \[
   \binom{16}{6} = \frac{16!}{6! \cdot (16-6)!} = 8008
   \]
   \[
   \binom{25}{9} = \frac{25!}{9! \cdot (25-9)!} = 2042975
   \]

2. Wahrscheinlichkeit:
   \[
   P(X = 10) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{16}{6}}{\binom{25}{9}}
   \]
   \[
   P(X = 10) = \frac{84 \cdot 8008}{2042975}
   \]
   \[
   P(X = 10) = \frac{672672}{2042975} \approx 0.3293 \, \text{(ca. 32.93\%)}
   \]

### Ergebnis:
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfer genau \( 10 \) Geräte testen muss, beträgt etwa **32.93%**.

---

Haben Sie weitere Fragen oder benötigen Sie eine detailliertere Erklärung? 

Hier sind 5 verwandte Fragen, die Sie interessieren könnten:
1. Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit ändern, wenn es 30 Geräte gäbe?
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4. Wie wirkt sich eine andere Anzahl defekter Geräte (\( K \)) auf die Wahrscheinlichkeit aus?
5. Kann dieses Problem mit der negativen Binomialverteilung modelliert werden?

**Tipp:** Die hypergeometrische Verteilung eignet sich, wenn Sie ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population ziehen.

In vier von 25 Geräten, die in zufälliger Reihenfolge gestapelt sind, wurde ein defektes Bauteil eingebaut. Ein Prüfer testet ein Gerät nach dem anderen, bis er alle vier Geräte mit dem falschen Bauteil entdeckt hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er dabei genau 10 Geräte prüfen muss?

Discover the probability of testing exactly 10 devices when 4 out of 25 devices are defective. This problem explores key probability concepts, including the hypergeometric distribution and combinatorics, with a step-by-step calculation showing a result of approximately 32.93%. Ideal for advanced high school or introductory college-level learners.

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