Para resolver esse problema, precisamos utilizar o conceito de distribuição hipergeométrica. A distribuição hipergeométrica é usada para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma amostra tirada de uma população finita sem reposição.

A fórmula da distribuição hipergeométrica é:

$P(X = k) = \frac{\binom{D}{k} \binom{N-D}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Onde:

• $N$ é o tamanho da população total (37 itens)
• $D$ é o número de itens defeituosos na população (17 itens)
• $n$ é o tamanho da amostra (10 itens)
• $k$ é o número de itens defeituosos na amostra (4 itens)
• $\binom{a}{b}$ é o coeficiente binomial, também conhecido como "combinação", que representa o número de maneiras de escolher $b$ itens de um conjunto de $a$ itens.

Vamos calcular passo a passo.

1. Calcular o número de maneiras de escolher 4 itens defeituosos dos 17 defeituosos: $\binom{17}{4} = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17!}{4! \cdot 13!} = 2380$

2. Calcular o número de maneiras de escolher 6 itens não defeituosos dos 20 itens não defeituosos (pois 37 - 17 = 20): $\binom{20}{6} = \frac{20!}{6!(20-6)!} = \frac{20!}{6! \cdot 14!} = 38760$

3. Calcular o número de maneiras de escolher 10 itens do total de 37 itens: $\binom{37}{10} = \frac{37!}{10!(37-10)!} = \frac{37!}{10! \cdot 27!} = 19428060890$

4. Calcular a probabilidade usando a fórmula da distribuição hipergeométrica: $P(X = 4) = \frac{\binom{17}{4} \binom{20}{6}}{\binom{37}{10}} = \frac{2380 \cdot 38760}{19428060890} \approx 0.000474$

Portanto, a probabilidade de que 4 dos 10 itens selecionados sejam defeituosos é aproximadamente $0.000474$ ou $0.0474\%$.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas para você explorar:

1. Como calcular a probabilidade de um número diferente de itens defeituosos na amostra?
2. Como a fórmula da distribuição hipergeométrica pode ser aplicada em outros contextos?
3. Qual é a diferença entre distribuição hipergeométrica e distribuição binomial?
4. Como calcular coeficientes binomiais de maneira eficiente?
5. Em que outros tipos de problemas a distribuição hipergeométrica pode ser aplicada?

Dica: Lembre-se de que a distribuição hipergeométrica é ideal para situações em que a amostragem é feita sem reposição.