Az egyenlő szárú háromszög esetén az "a" alap és a "b" szár egyenlő, továbbá a magasság (ma) az alaphoz tartozik. A feladat három különböző esetre vonatkozik.

a) $a = 12 \, \text{cm}, b = 10 \, \text{cm}, ma = ?$

• Keresett adat: ma (a háromszög magassága).

A magasság és az alap szárainak kapcsolatát a Pitagorasz-tétellel oldjuk meg, hiszen a magasság derékszögű háromszögeket alkot az alap felével:

$ma = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

$ma = \sqrt{10^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}$

Kerület: A háromszög kerülete az oldalak összegével adódik:

$K = a + 2b = 12 + 2 \times 10 = 32 \, \text{cm}$

Terület: A háromszög területének képlete:

$T = \frac{1}{2} \times a \times ma = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \, \text{cm}^2$

b) $a = 10 \, \text{cm}, b = ?, ma = 8 \, \text{cm}$

Ebben az esetben a szár (b) ismeretlen, a magasság (ma) és az alap (a) adott. A szár hosszát szintén Pitagorasz-tétellel számíthatjuk:

$b = \sqrt{ma^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

$b = \sqrt{8^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9.43 \, \text{cm}$

Kerület:

$K = a + 2b = 10 + 2 \times 9.43 \approx 28.86 \, \text{cm}$

Terület:

$T = \frac{1}{2} \times a \times ma = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \, \text{cm}^2$

c) $a = ?, b = 13.5 \, \text{cm}, ma = 10.8 \, \text{cm}$

Itt az alap (a) ismeretlen. A Pitagorasz-tétel segítségével számolhatjuk ki az "a" értékét:

$\frac{a}{2} = \sqrt{b^2 - ma^2}$

$\frac{a}{2} = \sqrt{13.5^2 - 10.8^2} = \sqrt{182.25 - 116.64} = \sqrt{65.61} = 8.1 \, \text{cm}$

Tehát:

$a = 2 \times 8.1 = 16.2 \, \text{cm}$

Kerület:

$K = a + 2b = 16.2 + 2 \times 13.5 = 43.2 \, \text{cm}$

Terület:

$T = \frac{1}{2} \times a \times ma = \frac{1}{2} \times 16.2 \times 10.8 = 87.48 \, \text{cm}^2$

---

Van bármi kérdésed vagy szeretnél részleteket? Íme 5 további kérdés, ami segíthet a további gyakorlásban:

1. Hogyan határoznánk meg a szár hosszát, ha csak a kerület lenne adott?
2. Mi történik, ha az alap hossza hosszabb, mint a szárak?
3. Milyen más esetekben lehetne használni a Pitagorasz-tételt háromszögekben?
4. Hogyan számítható ki a háromszög területe más típusú háromszögek esetén?
5. Milyen kapcsolat van a kerület és a terület között egyenlő szárú háromszögek esetén?

Tipp: Mindig ellenőrizd a háromszög tulajdonságait, mielőtt alkalmazod a Pitagorasz-tételt, hogy meggyőződj róla, hogy derékszögű háromszögekkel dolgozol!