3.) Határozd meg az a alapú egyenlőszárú háromszög keresett adatait, számítsd ki a háromszög kerületét és területét!
a) a = 12 cm, b = 10 cm ma = ?
b) a = 10 cm, b = ? ma = 8 cm
c) a = ? b=13,5 cm ma = 10,8 cm

Az egyenlő szárú háromszög esetén az "a" alap és a "b" szár egyenlő, továbbá a magasság (ma) az alaphoz tartozik. A feladat három különböző esetre vonatkozik.

### a) \( a = 12 \, \text{cm}, b = 10 \, \text{cm}, ma = ? \)

- **Keresett adat: ma** (a háromszög magassága).

A magasság és az alap szárainak kapcsolatát a Pitagorasz-tétellel oldjuk meg, hiszen a magasság derékszögű háromszögeket alkot az alap felével:

\[
ma = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

\[
ma = \sqrt{10^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]

**Kerület**: A háromszög kerülete az oldalak összegével adódik:

\[
K = a + 2b = 12 + 2 \times 10 = 32 \, \text{cm}
\]

**Terület**: A háromszög területének képlete:

\[
T = \frac{1}{2} \times a \times ma = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \, \text{cm}^2
\]

### b) \( a = 10 \, \text{cm}, b = ?, ma = 8 \, \text{cm} \)

Ebben az esetben a szár (b) ismeretlen, a magasság (ma) és az alap (a) adott. A szár hosszát szintén Pitagorasz-tétellel számíthatjuk:

\[
b = \sqrt{ma^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

\[
b = \sqrt{8^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9.43 \, \text{cm}
\]

**Kerület**:

\[
K = a + 2b = 10 + 2 \times 9.43 \approx 28.86 \, \text{cm}
\]

**Terület**:

\[
T = \frac{1}{2} \times a \times ma = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \, \text{cm}^2
\]

### c) \( a = ?, b = 13.5 \, \text{cm}, ma = 10.8 \, \text{cm} \)

Itt az alap (a) ismeretlen. A Pitagorasz-tétel segítségével számolhatjuk ki az "a" értékét:

\[
\frac{a}{2} = \sqrt{b^2 - ma^2}
\]

\[
\frac{a}{2} = \sqrt{13.5^2 - 10.8^2} = \sqrt{182.25 - 116.64} = \sqrt{65.61} = 8.1 \, \text{cm}
\]

Tehát:

\[
a = 2 \times 8.1 = 16.2 \, \text{cm}
\]

**Kerület**:

\[
K = a + 2b = 16.2 + 2 \times 13.5 = 43.2 \, \text{cm}
\]

**Terület**:

\[
T = \frac{1}{2} \times a \times ma = \frac{1}{2} \times 16.2 \times 10.8 = 87.48 \, \text{cm}^2
\]

---

Van bármi kérdésed vagy szeretnél részleteket? Íme 5 további kérdés, ami segíthet a további gyakorlásban:

1. Hogyan határoznánk meg a szár hosszát, ha csak a kerület lenne adott?
2. Mi történik, ha az alap hossza hosszabb, mint a szárak?
3. Milyen más esetekben lehetne használni a Pitagorasz-tételt háromszögekben?
4. Hogyan számítható ki a háromszög területe más típusú háromszögek esetén?
5. Milyen kapcsolat van a kerület és a terület között egyenlő szárú háromszögek esetén?

**Tipp**: Mindig ellenőrizd a háromszög tulajdonságait, mielőtt alkalmazod a Pitagorasz-tételt, hogy meggyőződj róla, hogy derékszögű háromszögekkel dolgozol!

Határozd meg az a alapú egyenlőszárú háromszög keresett adatait, számítsd ki a háromszög kerületét és területét! a) a = 12 cm, b = 10 cm ma = ? b) a = 10 cm, b = ? ma = 8 cm c) a = ? b=13,5 cm ma = 10,8 cm

Learn how to calculate the perimeter and area of an isosceles triangle using the Pythagorean theorem. Detailed step-by-step solutions for cases where the base or side lengths and height are known. Suitable for students in Grades 8-10.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation