Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait és szögeit, ha egyik oldala 3,5 dm, a másik oldala 19 cm és a hosszabbik oldallal szemközti szöge 100 fok!


Az adatok alapján a háromszög egyik oldala \( a = 3,5 \) dm = \( 35 \) cm, a másik oldala \( b = 19 \) cm, és a hosszabbik oldallal szemközti szög \(\gamma = 100^\circ\).

A háromszög hiányzó oldalait és szögeit a koszinusztétel és a szinusztétel segítségével számíthatjuk ki.

### 1. Hiányzó oldal (\(c\)) kiszámítása a koszinusztétel segítségével:
A koszinusztétel szerint:
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)
\]

Helyettesítsük be az adatokat:
\[
c^2 = 35^2 + 19^2 - 2 \cdot 35 \cdot 19 \cdot \cos(100^\circ)
\]
\[
c^2 = 1225 + 361 - 1330 \cdot \cos(100^\circ)
\]

Kiszámítjuk \(\cos(100^\circ)\)-t, majd a fenti kifejezést.

### 2. Szög (\(\beta\)) kiszámítása a szinusztétel segítségével:
A szinusztétel szerint:
\[
\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}
\]

Először kiszámítjuk \(\sin(\gamma)\)-t:
\[
\sin(\gamma) = \sin(100^\circ)
\]

Ezután:
\[
\frac{35}{\sin(\alpha)} = \frac{19}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(100^\circ)}
\]

Innen a szinusztétellel kifejezzük \(\sin(\beta)\)-t, majd \(\beta\)-t kiszámítjuk.

### 3. Hiányzó szög (\(\alpha\)) kiszámítása:
Mivel a háromszög szögeinek összege 180°, az utolsó szög így számítható:
\[
\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma
\]

Most számolom ki a pontos értékeket.Az eredmények a következők:

1. A hiányzó oldal (\( c \)) hossza: \(\approx 42,63 \) cm.
2. A \(\beta\) szög: \(\approx 26,04^\circ\).
3. A \(\alpha\) szög: \(\approx 53,96^\circ\).

Szeretnél további részleteket vagy van kérdésed?

### Kapcsolódó kérdések:
1. Hogyan számíthatjuk ki a háromszög területét ezekkel az adatokkal?
2. Mi a háromszög kerülete és magassága?
3. Hogyan alkalmazható a koszinusztétel más típusú háromszögekre?
4. Miért fontos a háromszög szögeinek összege?
5. Hogyan lehet szögeket radianban mérni, és mikor használatos ez?

**Tipp:** Ha bármelyik szög a háromszögben 90°-nál nagyobb, akkor az a háromszög tompaszögű háromszög.

Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalait és szögeit, ha egyik oldala 3,5 dm, a másik oldala 19 cm és a hosszabbik oldallal szemközti szöge 100 fok!

Solve for the missing sides and angles of a triangle where one side is 3.5 dm, the other is 19 cm, and the angle opposite the longer side is 100°. This detailed step-by-step solution uses the Cosine Rule and Sine Rule, making it ideal for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation