Le polynôme minimal d’un élément $\alpha$ d’une extension de corps est le polynôme unitaire de degré minimal à coefficients dans le corps de base qui annule $\alpha$. Voici les étapes pour le calculer :

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1. Définir l'extension de corps

Supposons que vous travaillez dans une extension de corps $K / F$, où :

• $F$ est le corps de base (par exemple, $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_p$, etc.),
• $K$ est le corps d'extension.

L'élément $\alpha$ appartient à $K$, et nous cherchons le polynôme minimal de $\alpha$ sur $F$.

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2. Identifier le type de l’élément $\alpha$

• Si $\alpha$ est algébrique sur $F$, alors il existe un polynôme non nul $P(x) \in F[x]$ tel que $P(\alpha) = 0$.
• Si $\alpha$ est transcendant, il n’a pas de polynôme minimal (il n’est pas racine d’un polynôme non trivial sur $F$).

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3. Construire les candidats pour le polynôme minimal

Pour $\alpha$ algébrique, procédez ainsi :

1. Écrire les puissances de $\alpha$ : Considérez les puissances $1, \alpha, \alpha^2, \dots$ et exprimez-les sous forme de combinaison linéaire sur $F$.
2. Identifier une relation linéaire : Cherchez la plus petite relation $c_0 + c_1 \alpha + c_2 \alpha^2 + \dots + c_n \alpha^n = 0$, avec $c_i \in F$, $c_n \neq 0$.
3. Vérifier l’unicité et l’universalité : Ce polynôme sera unique, unitaire (coefficient dominant égal à 1), et irréductible sur $F$.

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4. Exemple : Calcul dans une extension quadratique

Prenons $\alpha = \sqrt{2}$ et $F = \mathbb{Q}$.

• $\sqrt{2}$ est algébrique sur $\mathbb{Q}$, car il satisfait $x^2 - 2 = 0$.
• $x^2 - 2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$, donc c’est le polynôme minimal de $\sqrt{2}$.

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5. Exemple : Matrices

Si vous cherchez le polynôme minimal d’une matrice $A$, il faut résoudre $P(A) = 0$ pour le polynôme unitaire de plus petit degré. En général, cela implique de trouver les valeurs propres de $A$ et de vérifier les relations algébriques entre elles.

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Avez-vous une situation spécifique ou des données à analyser ? 😊

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Questions associées :

1. Comment vérifier qu’un polynôme est irréductible sur un corps donné ?
2. Quelle est la différence entre un polynôme minimal et un polynôme caractéristique (en matrices) ?
3. Comment traiter un élément transcendant sur un corps de base ?
4. Quelles techniques utiliser pour factoriser un polynôme sur $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$ ?
5. Comment utiliser les outils algorithmiques pour trouver le polynôme minimal dans une extension finie ?

Astuce :

Pour vérifier si un polynôme est irréductible sur $\mathbb{Q}$, appliquez le critère d'Eisenstein au besoin !