Math Problem Statement

Soit a ∈ R et u l’endomorphisme de Mn(R) défini par :

u(M ) = aM + tr(M )In

(a) Déterminer les éléments propres de u.

(b) En déduire le polynôme minimal de u.

Solution

Considérons l’endomorphisme uu de Mn(R)M_n(\mathbb{R}) défini par :

u(M)=aM+tr(M)Inu(M) = aM + \text{tr}(M) I_n

aRa \in \mathbb{R} et tr(M)\text{tr}(M) représente la trace de la matrice MM.


(a) Détermination des éléments propres de uu

Pour déterminer les éléments propres de uu, nous cherchons les matrices MMn(R)M \in M_n(\mathbb{R}) et les valeurs propres λR\lambda \in \mathbb{R} telles que :

u(M)=λMu(M) = \lambda M

En d’autres termes, il doit vérifier :

aM+tr(M)In=λMaM + \text{tr}(M) I_n = \lambda M

Pour que cette équation soit vérifiée, nous pouvons distinguer deux cas :

  1. Cas 1 : MM est une matrice scalaire.
    Si M=αInM = \alpha I_n avec αR\alpha \in \mathbb{R}, alors on a : tr(M)=nα\text{tr}(M) = n \alpha et u(M)=aαIn+nαIn=(a+n)αIn.u(M) = a \alpha I_n + n \alpha I_n = (a + n) \alpha I_n. Donc, pour ce cas, la valeur propre associée est λ=a+n\lambda = a + n.

  2. Cas 2 : MM est une matrice de trace nulle.
    Supposons maintenant que tr(M)=0\text{tr}(M) = 0. Dans ce cas : u(M)=aM.u(M) = aM. La valeur propre associée est alors λ=a\lambda = a.

Ainsi, les valeurs propres de l’endomorphisme uu sont aa et a+na + n.


(b) Polynôme minimal de uu

Le polynôme minimal de uu est le plus petit polynôme unitaire PP tel que P(u)=0P(u) = 0. Puisque uu a deux valeurs propres distinctes, aa et a+na + n, le polynôme minimal est donné par :

P(X)=(Xa)(X(a+n))P(X) = (X - a)(X - (a + n))

Donc, le polynôme minimal de uu est :

P(X)=(Xa)(X(a+n))P(X) = (X - a)(X - (a + n))


Ces réponses concluent la résolution du problème. Voulez-vous des détails supplémentaires ou une explication approfondie de certaines étapes ?


Questions supplémentaires

  1. Comment vérifier si une matrice donnée est un élément propre de l’endomorphisme uu ?
  2. Que représente la trace d’une matrice dans le contexte des endomorphismes ?
  3. Comment déterminer les valeurs propres d’un endomorphisme de Mn(R)M_n(\mathbb{R}) en général ?
  4. Pourquoi la matrice identité est-elle importante dans le calcul du polynôme minimal ?
  5. Comment généraliser cette approche si uu avait plusieurs termes dépendant de tr(M)\text{tr}(M) ?

Astuce

Pour déterminer le polynôme minimal, souvenez-vous que les valeurs propres et les vecteurs propres (ou matrices propres dans ce cas) peuvent souvent guider dans la construction de ce polynôme, en tenant compte de la multiplicité des valeurs propres.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Matrix Endomorphisms
Eigenvalues and Eigenvectors
Trace of a Matrix

Formulas

u(M) = aM + tr(M) * I_n
Eigenvalue equation: u(M) = λM
Minimal polynomial: P(X) = (X - a)(X - (a + n))

Theorems

Eigenvalue theorem for matrices
Minimal polynomial of an endomorphism

Suitable Grade Level

Undergraduate Level