Math Problem Statement
Soit a ∈ R et u l’endomorphisme de Mn(R) défini par :
u(M ) = aM + tr(M )In
(a) Déterminer les éléments propres de u.
(b) En déduire le polynôme minimal de u.
Solution
Considérons l’endomorphisme de défini par :
où et représente la trace de la matrice .
(a) Détermination des éléments propres de
Pour déterminer les éléments propres de , nous cherchons les matrices et les valeurs propres telles que :
En d’autres termes, il doit vérifier :
Pour que cette équation soit vérifiée, nous pouvons distinguer deux cas :
-
Cas 1 : est une matrice scalaire.
Si avec , alors on a : et Donc, pour ce cas, la valeur propre associée est . -
Cas 2 : est une matrice de trace nulle.
Supposons maintenant que . Dans ce cas : La valeur propre associée est alors .
Ainsi, les valeurs propres de l’endomorphisme sont et .
(b) Polynôme minimal de
Le polynôme minimal de est le plus petit polynôme unitaire tel que . Puisque a deux valeurs propres distinctes, et , le polynôme minimal est donné par :
Donc, le polynôme minimal de est :
Ces réponses concluent la résolution du problème. Voulez-vous des détails supplémentaires ou une explication approfondie de certaines étapes ?
Questions supplémentaires
- Comment vérifier si une matrice donnée est un élément propre de l’endomorphisme ?
- Que représente la trace d’une matrice dans le contexte des endomorphismes ?
- Comment déterminer les valeurs propres d’un endomorphisme de en général ?
- Pourquoi la matrice identité est-elle importante dans le calcul du polynôme minimal ?
- Comment généraliser cette approche si avait plusieurs termes dépendant de ?
Astuce
Pour déterminer le polynôme minimal, souvenez-vous que les valeurs propres et les vecteurs propres (ou matrices propres dans ce cas) peuvent souvent guider dans la construction de ce polynôme, en tenant compte de la multiplicité des valeurs propres.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Matrix Endomorphisms
Eigenvalues and Eigenvectors
Trace of a Matrix
Formulas
u(M) = aM + tr(M) * I_n
Eigenvalue equation: u(M) = λM
Minimal polynomial: P(X) = (X - a)(X - (a + n))
Theorems
Eigenvalue theorem for matrices
Minimal polynomial of an endomorphism
Suitable Grade Level
Undergraduate Level
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