https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1723641183910b7q7zok1.jpg

Para calcular o limite dado:

\[
\lim_{{n \to \infty}} \sqrt[3]{{\frac{{27n^3 + 5n + 1}}{{64n^3 + 11n}}}}
\]

podemos seguir os seguintes passos:

### Passo 1: Simplifique a expressão dentro da raiz cúbica
Vamos considerar a expressão dentro da raiz cúbica:

\[
\frac{{27n^3 + 5n + 1}}{{64n^3 + 11n}}
\]

### Passo 2: Fatorar o maior termo de \( n \) no numerador e no denominador
O maior termo de \( n \) tanto no numerador quanto no denominador é \( n^3 \). Vamos fatorar \( n^3 \):

\[
\frac{{n^3 \left( 27 + \frac{5}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right)}}{{n^3 \left( 64 + \frac{11}{n^2} \right)}} = \frac{{27 + \frac{5}{n^2} + \frac{1}{n^3}}}{{64 + \frac{11}{n^2}}}
\]

### Passo 3: Calcule o limite quando \( n \) tende ao infinito
Quando \( n \to \infty \), os termos \( \frac{5}{n^2} \), \( \frac{1}{n^3} \), e \( \frac{11}{n^2} \) tendem a 0. Portanto, a expressão se simplifica para:

\[
\frac{27 + 0 + 0}{64 + 0} = \frac{27}{64}
\]

### Passo 4: Aplique a raiz cúbica
Por fim, aplicamos a raiz cúbica ao resultado:

\[
\sqrt[3]{{\frac{27}{64}}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{3}{4}
\]

### Conclusão
Portanto, o limite é:

\[
\lim_{{n \to \infty}} \sqrt[3]{{\frac{{27n^3 + 5n + 1}}{{64n^3 + 11n}}}} = \frac{3}{4}
\]

Gostaria de mais detalhes ou explicações sobre essa solução? Aqui estão algumas perguntas relacionadas que você pode achar interessantes:

1. Como encontrar limites quando as maiores potências de \(n\) diferem entre o numerador e o denominador?
2. O que acontece se o grau do numerador for maior que o do denominador?
3. Como aplicar a regra de L'Hôpital em limites envolvendo formas indeterminadas?
4. Esse método pode ser usado para limites envolvendo raízes quadradas em vez de cúbicas?
5. Como calcular limites no infinito para funções racionais?
6. Quais são alguns truques comuns para simplificar problemas complexos de limites?
7. Como a raiz cúbica afeta o cálculo geral do limite?
8. E se os coeficientes principais de \(n^3\) fossem negativos? Como o limite mudaria?

**Dica:** Ao lidar com limites no infinito, sempre observe as maiores potências de \(n\) e fatorize-as para simplificar a expressão.

Learn how to calculate the limit of (27n^3 + 5n + 1) / (64n^3 + 11n) as n approaches infinity. This detailed solution covers simplifying rational expressions, identifying dominant terms, and applying limit properties effectively. Suitable for advanced high school students and college-level calculus learners.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation