Для решения задачи необходимо рассмотреть разбиения множества $\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$ на определённое число классов эквивалентности. Эти разбиения соответствуют числам Белла и стирлинговым числам второго рода. Мы будем использовать следующие обозначения:

• $S(n, k)$ — стирлингово число второго рода, которое показывает количество разбиений $n$-элементного множества на $k$ непустых подмножеств.
• Число отношений эквивалентности с $k$ классами эквивалентности равно $S(5, k)$, так как каждому разбиению соответствует ровно одно отношение эквивалентности.

Вычисления

Рассчитаем стирлинговы числа $S(5, k)$ для $k = 1, 2, 3, 4, 5$:

1. $S(5, 1) = 1$ (все элементы в одном классе: $\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$).
2. $S(5, 2) = 15$ (разбиения на два класса).
3. $S(5, 3) = 25$ (разбиения на три класса).
4. $S(5, 4) = 10$ (разбиения на четыре класса).
5. $S(5, 5) = 1$ (каждый элемент в своём классе: $\{\{x_1\}, \{x_2\}, \{x_3\}, \{x_4\}, \{x_5\}\}$).

Ответы на подзадачи:

а) $k = 1$: $S(5, 1) = 1$.
б) $k = 2$: $S(5, 2) = 15$.
в) $k = 3$: $S(5, 3) = 25$.
г) $k = 4$: $S(5, 4) = 10$.
д) $k = 5$: $S(5, 5) = 1$.

Полезное наблюдение:

Общее количество всех разбиений множества из $n = 5$ элементов — это число Белла $B_5$, равное: $B_5 = S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) + S(5, 4) + S(5, 5) = 1 + 15 + 25 + 10 + 1 = 52.$

Итог:

Числа отношений эквивалентности для каждого случая:

• $k = 1$: $1$,
• $k = 2$: $15$,
• $k = 3$: $25$,
• $k = 4$: $10$,
• $k = 5$: $1$.

---

Хотите получить подробный вывод формул для вычисления стирлинговых чисел?
5 вопросов для обсуждения:

1. Как вычисляются стирлинговы числа второго рода?
2. Чем связаны числа Белла и разбиения множества?
3. Можно ли обобщить эту задачу для произвольного $n$?
4. Как выглядит графическое представление разбиений множества?
5. Как применяются такие расчёты в теории вероятностей?

Совет: Стирлинговы числа второго рода можно вычислять рекурсивно:
$S(n, k) = k \cdot S(n-1, k) + S(n-1, k-1).$