Для определения числа отношений эквивалентности с заданным числом классов эквивалентности на множестве из 5 элементов $\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$, нужно использовать числа Белла и стирлинговы числа второго рода.

Стирлинговы числа второго рода $S(n, k)$ обозначают число способов разбиения множества из $n$ элементов на $k$ непустых подмножеств. Каждое разбиение соответствует уникальному отношению эквивалентности.

Общее число отношений эквивалентности — это сумма всех $S(5, k)$ при $k = 1, 2, \dots, 5$, что соответствует 5-му числу Белла $B_5 = 52$.

Разберём каждый случай:

а) $1$ класс эквивалентности:

Если всё множество — один класс, то только одно разбиение возможно: $S(5, 1) = 1.$

б) $2$ класса эквивалентности:

Стирлингово число $S(5, 2)$ считается так: $S(5, 2) = 2 \cdot S(4, 2) + S(4, 1) = 2 \cdot 7 + 1 = 15.$

в) $3$ класса эквивалентности:

$S(5, 3) = 3 \cdot S(4, 3) + S(4, 2) = 3 \cdot 6 + 7 = 25.$

г) $4$ класса эквивалентности:

$S(5, 4) = 4 \cdot S(4, 4) + S(4, 3) = 4 \cdot 1 + 6 = 10.$

д) $5$ классов эквивалентности:

$S(5, 5) = 5 \cdot S(4, 5) + S(4, 4) = 5 \cdot 0 + 1 = 1.$

Ответы:

1. $S(5, 1) = 1$,
2. $S(5, 2) = 15$,
3. $S(5, 3) = 25$,
4. $S(5, 4) = 10$,
5. $S(5, 5) = 1$.

---

Хотите подробный вывод формулы для стирлинговых чисел?

Связанные вопросы:

1. Что такое числа Белла и как они связаны со стирлинговыми числами?
2. Как вычисляются стирлинговы числа второго рода для общего $n$ и $k$?
3. Какова связь между числами разбиений множества и числами композиций?
4. Можно ли обобщить задачу на большее количество элементов множества?
5. Как эти разбиения применяются в комбинаторике и других разделах математики?

Советы:

Используйте рекуррентное соотношение для вычисления $S(n, k)$: $S(n, k) = k \cdot S(n-1, k) + S(n-1, k-1).$