Число отношений эквивалентности на множестве $\{x_1, \ldots, x_5\}$, у которых ровно $k$ классов эквивалентности, определяется как количество разбиений множества из 5 элементов на $k$ непустых подмножеств. Это число равно числу Стирлинга второго рода $S(5, k)$.

Формула для $S(n, k)$ задается рекуррентным соотношением: $S(n, k) = k \cdot S(n-1, k) + S(n-1, k-1),$ с начальными условиями:

• $S(0, 0) = 1$,
• $S(n, 0) = 0$ для $n > 0$,
• $S(0, k) = 0$ для $k > 0$.

Теперь вычислим $S(5, k)$ для $k = 1, 2, 3, 4, 5$:

Шаги:

1. $S(5, 1)$: Все элементы в одном классе. $S(5, 1) = 1$

2. $S(5, 2)$: Разбиение на 2 класса. $S(5, 2) = 2 \cdot S(4, 2) + S(4, 1)$ Рассчитаем:

• $S(4, 2) = 2 \cdot S(3, 2) + S(3, 1)$,
• $S(3, 2) = 2 \cdot S(2, 2) + S(2, 1)$,
• Подставляя: $S(2, 2) = 1, S(2, 1) = 1$, получаем $S(3, 2) = 4$.
• $S(4, 2) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$,
• $S(5, 2) = 2 \cdot 9 + 1 = 19$.

3. $S(5, 3)$: Разбиение на 3 класса. $S(5, 3) = 3 \cdot S(4, 3) + S(4, 2)$ Рассчитаем:

• $S(4, 3) = 3 \cdot S(3, 3) + S(3, 2)$,
• $S(3, 3) = 1$, $S(3, 2) = 4$, значит $S(4, 3) = 3 \cdot 1 + 4 = 7$,
• $S(5, 3) = 3 \cdot 7 + 9 = 30$.

4. $S(5, 4)$: Разбиение на 4 класса. $S(5, 4) = 4 \cdot S(4, 4) + S(4, 3)$ Рассчитаем:

• $S(4, 4) = 1$, $S(4, 3) = 7$,
• $S(5, 4) = 4 \cdot 1 + 7 = 11$.

5. $S(5, 5)$: Разбиение на 5 классов. $S(5, 5) = 1 \quad \text{(каждый элемент в своем классе)}.$

Итоговые результаты:

• а) $S(5, 1) = 1$
• б) $S(5, 2) = 15$
• в) $S(5, 3) = 25$
• г) $S(5, 4) = 10$
• д) $S(5, 5) = 1$

Если хотите, могу детализировать расчёты или объяснить теорию Стирлинга.

5 вопросов:

1. Хотите увидеть объяснение рекурсии для чисел Стирлинга?
2. Желаете рассчитать для других $n$?
3. Нужен пример разбиений для каждого $k$?
4. Интересует связь с биномиальными коэффициентами?
5. Хотите узнать об использовании чисел Стирлинга в комбинаторике?

Совет: Числа Стирлинга удобно использовать с помощью таблиц или программирования, чтобы ускорить вычисления.