Um cliente possui os seguintes investimentos sem cupom:
Valor de face, maturidade, YTM
R$40.000, 3 anos, 8.00% a.a
R$45.000, 4 anos, 6% a.a
R$15.000, 1 ano, 10% a.a
Como calcular a duration aproximada

A **duration** mede a sensibilidade de um título às variações nas taxas de juros. Para títulos sem cupom, como os que você mencionou, a **duration** de Macaulay pode ser aproximada pela maturidade do título, pois ele só realiza pagamentos no final do período. No entanto, podemos calcular uma **duration modificada** mais precisa usando o YTM (Yield to Maturity), que é ajustada de acordo com as variações das taxas de juros.

Aqui estão os passos para calcular a duration aproximada dos títulos:

### Fórmula da **Duration de Macaulay** para um título sem cupom:
\[
D = \frac{T}{(1 + YTM)^T}
\]
onde:
- $T$ é o número de anos até a maturidade,
- $YTM$ é a taxa de rendimento ao vencimento anual.

Depois de calcular a duration de cada título, podemos calcular uma **duration média ponderada** de todo o portfólio, ponderada pelo valor de face dos títulos.

### Passo a passo:

1. **Calcular a duration de cada título:**

Para o título de **R$40.000** com **3 anos** e **YTM de 8%**:
\[
D_1 = \frac{3}{(1 + 0,08)^3}
\]

Para o título de **R$45.000** com **4 anos** e **YTM de 6%**:
\[
D_2 = \frac{4}{(1 + 0,06)^4}
\]

Para o título de **R$15.000** com **1 ano** e **YTM de 10%**:
\[
D_3 = \frac{1}{(1 + 0,10)^1}
\]

2. **Calcular a duration média ponderada**:
\[
\text{Duration média} = \frac{40.000 \cdot D_1 + 45.000 \cdot D_2 + 15.000 \cdot D_3}{40.000 + 45.000 + 15.000}
\]

Vou calcular os valores exatos para você.Aqui estão os resultados da duration para cada título:

- Título de **R$40.000** com 3 anos e YTM de 8%: Duration ≈ **2,38 anos**
- Título de **R$45.000** com 4 anos e YTM de 6%: Duration ≈ **3,17 anos**
- Título de **R$15.000** com 1 ano e YTM de 10%: Duration ≈ **0,91 anos**

A **duration média ponderada** de todo o portfólio é aproximadamente **2,51 anos**.

Caso tenha dúvidas ou queira mais detalhes sobre o processo, é só avisar!

Aqui estão 5 perguntas relativas:
1. Como a duration afeta o risco do portfólio?
2. Qual a diferença entre a duration de Macaulay e a duration modificada?
3. Como as variações de taxa de juros impactam um título sem cupom?
4. Como calcular o valor presente de um título com cupom?
5. A duration de títulos com cupom seria maior ou menor que a de títulos sem cupom?

**Dica**: A duration é uma ferramenta poderosa para medir o risco de taxa de juros de um título, quanto maior a duration, maior a sensibilidade a mudanças nas taxas de juros.

Um cliente possui os seguintes investimentos sem cupom: Valor de face, maturidade, YTM R$40.000, 3 anos, 8.00% a.a R$45.000, 4 anos, 6% a.a R$15.000, 1 ano, 10% a.a Como calcular a duration aproximada

Learn how to calculate the approximate Macaulay duration for zero-coupon bonds with varying maturities and YTM rates. This example includes three bonds with face values of R$40,000, R$45,000, and R$15,000 over 3, 4, and 1 years respectively. Detailed steps using the YTM and weighted average formula are provided.

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