Gegeben ist der Kreisring U={(x,y)∈R2∣1≤x2+y2≤16}
. Berechnen Sie mithilfe von Polarkoordinaten das Integral

∬Usin(2⋅(y2+x2))dydx=

Um das gegebene Integral \(\iint_{U} \sin(2 \cdot (y^2 + x^2)) \, dy \, dx\) zu berechnen, verwenden wir Polarkoordinaten. Der Kreisring \( U \) ist definiert als \( U = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \leq x^2 + y^2 \leq 16 \} \).

In Polarkoordinaten gilt:
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta), \quad r^2 = x^2 + y^2 \]

Die Grenzen für \( r \) sind von 1 bis 4 und die Grenzen für \( \theta \) sind von 0 bis \( 2\pi \).

Das Integral in Polarkoordinaten wird zu:
\[ \iint_{U} \sin(2 \cdot (y^2 + x^2)) \, dy \, dx = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{4} \sin(2r^2) \cdot r \, dr \, d\theta \]

Wir lösen das Integral in zwei Schritten, zuerst das Integral über \( r \) und dann über \( \theta \):

1. Integral über \( r \):
\[ \int_{1}^{4} \sin(2r^2) \cdot r \, dr \]

Setzen wir \( u = 2r^2 \) (Substitution):
\[ du = 4r \, dr \quad \Rightarrow \quad r \, dr = \frac{1}{4} du \]

Die neuen Integrationsgrenzen sind:
- Wenn \( r = 1 \), dann \( u = 2 \cdot 1^2 = 2 \)
- Wenn \( r = 4 \), dann \( u = 2 \cdot 4^2 = 32 \)

Das Integral wird somit:
\[ \int_{1}^{4} \sin(2r^2) \cdot r \, dr = \frac{1}{4} \int_{2}^{32} \sin(u) \, du \]

Das Integral von \( \sin(u) \) ist \( -\cos(u) \):
\[ \frac{1}{4} \left[ -\cos(u) \right]_{2}^{32} = -\frac{1}{4} \left( \cos(32) - \cos(2) \right) \]

2. Integral über \( \theta \):
\[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \]

Kombinieren wir beide Ergebnisse, erhalten wir:
\[ \iint_{U} \sin(2 \cdot (y^2 + x^2)) \, dy \, dx = 2\pi \left( -\frac{1}{4} (\cos(32) - \cos(2)) \right) \]

Vereinfachen:
\[ = -\frac{\pi}{2} (\cos(32) - \cos(2)) \]

Das endgültige Ergebnis ist:
\[ \iint_{U} \sin(2 \cdot (y^2 + x^2)) \, dy \, dx = -\frac{\pi}{2} (\cos(32) - \cos(2)) \]

Haben Sie Fragen oder möchten Sie Details zu einem bestimmten Schritt wissen?

Hier sind 5 Fragen, die Sie stellen können:
1. Wie funktioniert die Umwandlung von kartesischen in Polarkoordinaten im Allgemeinen?
2. Können Sie ein anderes Beispiel für ein Doppelintegral in Polarkoordinaten lösen?
3. Was ist der Unterschied zwischen verschiedenen Koordinatensystemen bei der Integration?
4. Wie funktioniert die Substitution in Integralen genau?
5. Warum ist die Wahl der Grenzen bei der Integration so wichtig?

**Tipp:** Stellen Sie sicher, dass Sie die neuen Integrationsgrenzen nach einer Substitution richtig bestimmen, um Fehler in den Berechnungen zu vermeiden.

Learn how to calculate the double integral ∬(sin(2(y^2 + x^2))) dy dx over the circular region defined by 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 16 using polar coordinates. Detailed step-by-step solution provided, including trigonometric substitution and integral evaluation techniques.

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