Opgave 1: Bestem f'(x) når: f(x)=1/4 x^4-2x f(x)=2e^4x+e f(x)=7⋅1/x-3x^5-2

Lad os bestemme de afledte funktioner \( f'(x) \) for hver af de tre funktioner, der er givet.

### 1. \( f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x \)
Vi differentierer funktionen led for led:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) - \frac{d}{dx}(2x)
\]

\[
f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 = x^3 - 2
\]

### 2. \( f(x) = 2e^{4x} + e \)
Her skal vi anvende kædereglen for at differentiere \( e^{4x} \):

\[
f'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{4x}) + \frac{d}{dx}(e)
\]

Da afledede af \( e^c \), hvor \( c \) er en konstant, er 0, og afledede af \( e^{4x} \) er \( 4e^{4x} \), får vi:

\[
f'(x) = 2 \cdot 4e^{4x} = 8e^{4x}
\]

### 3. \( f(x) = 7 \cdot \frac{1}{x} - 3x^5 - 2 \)
Vi differentierer igen led for led:

\[
f'(x) = 7 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{d}{dx}(3x^5) - \frac{d}{dx}(2)
\]

Vi kender at \( \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \) og \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \), så:

\[
f'(x) = 7 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) - 15x^4
\]

\[
f'(x) = -\frac{7}{x^2} - 15x^4
\]

### Sammenfatning af de afledte funktioner:
1. \( f'(x) = x^3 - 2 \)
2. \( f'(x) = 8e^{4x} \)
3. \( f'(x) = -\frac{7}{x^2} - 15x^4 \)

Ønsker du yderligere forklaringer eller har du nogle spørgsmål?

Her er 5 relaterede spørgsmål:
1. Hvordan finder man den anden afledte af en funktion?
2. Hvad er kædereglen, og hvornår anvender man den?
3. Hvordan bestemmer man tangentens ligning til en kurve i et bestemt punkt?
4. Hvad betyder det, når en funktion har en afledt værdi på 0 i et punkt?
5. Hvordan kan man bruge differentialregning til at bestemme maksimum og minimum af en funktion?

**Tip:** At forstå kædereglen er centralt for at kunne differentiere sammensatte funktioner korrekt.

Learn how to calculate derivatives for the functions f(x)=1/4 x^4 - 2x, f(x)=2e^4x+e, f(x)=7⋅1/x-3x^5-2. Detailed step-by-step solutions provided for each function, covering differentiation rules, chain rule application, and exponential and polynomial functions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation