resuelve el mismo ejercicio por la integral de contorno 

Para resolver el ejercicio usando una integral de contorno, tomaremos la función dada y utilizaremos la parametrización de un contorno circular. Aquí, nos enfocaremos en la evaluación de la integral de contorno sin el uso de fórmulas de Cauchy o el teorema de residuos.

### Ejercicio

**Problema**: Calcular \(\int_{C} \frac{dz}{z - z_0}\), donde \(C\) es un círculo de radio \(r\) con centro en \(z_0\), en sentido positivo.

### Solución

#### 1. **Parametrización del Contorno**

El contorno \(C\) es un círculo de radio \(r\) centrado en \(z_0\). Lo parametrizamos como:
\[ z = z_0 + re^{i\theta}, \]
donde \(\theta\) varía de \(0\) a \(2\pi\).

#### 2. **Expresión de \(dz\)**

La diferencial \(dz\) se obtiene derivando \(z\) con respecto a \(\theta\):
\[ dz = \frac{d}{d\theta}(z_0 + re^{i\theta}) d\theta = ire^{i\theta} d\theta. \]

#### 3. **Sustitución en la Integral**

Sustituimos la parametrización en la integral:
\[
\int_{C} \frac{dz}{z - z_0} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ire^{i\theta} d\theta}{re^{i\theta}}.
\]

Simplificamos la expresión:
\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{i}{r} d\theta.
\]

#### 4. **Evaluación de la Integral**

Evaluamos la integral resultante:
\[
\frac{i}{r} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{i}{r} [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{i}{r} (2\pi - 0) = \frac{2\pi i}{r}.
\]

### Conclusión

El valor de la integral de contorno es \(\frac{2\pi i}{r}\). Esto demuestra que la integral de una función racional alrededor de un contorno que encierra una singularidad depende del residuo en la singularidad, aunque no hemos usado explícitamente el teorema de residuos.

¿Necesitas más detalles o tienes alguna otra pregunta?

---

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Qué es un residuo y cómo se calcula sin el teorema de residuos?
2. ¿Cómo cambia el resultado si el contorno no encierra la singularidad?
3. ¿Qué otros métodos se pueden usar para evaluar integrales de contorno?
4. ¿Qué pasa si el radio del círculo se hace infinitamente pequeño?
5. ¿Cómo se comporta la integral si el contorno es elíptico en lugar de circular?
6. ¿Qué diferencias hay al evaluar integrales de contorno en espacios no euclidianos?
7. ¿Cómo se aborda una integral de contorno con múltiples singularidades dentro del contorno?
8. ¿Qué papel juega el número de vueltas (winding number) del contorno alrededor de la singularidad?

### Consejo

Al trabajar con integrales de contorno, siempre es crucial entender la naturaleza del contorno y las singularidades de la función para aplicar adecuadamente los métodos de cálculo.

Learn how to calculate a contour integral without using Cauchy's formula. This problem involves parametrizing a circular contour and evaluating the integral using basic principles of complex analysis. Suitable for advanced mathematics students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation