Para resolver el ejercicio usando una integral de contorno, tomaremos la función dada y utilizaremos la parametrización de un contorno circular. Aquí, nos enfocaremos en la evaluación de la integral de contorno sin el uso de fórmulas de Cauchy o el teorema de residuos.

Ejercicio

Problema: Calcular $\int_{C} \frac{dz}{z - z_0}$, donde $C$ es un círculo de radio $r$ con centro en $z_0$, en sentido positivo.

Solución

1. Parametrización del Contorno

El contorno $C$ es un círculo de radio $r$ centrado en $z_0$. Lo parametrizamos como: $z = z_0 + re^{i\theta},$ donde $\theta$ varía de $0$ a $2\pi$.

2. Expresión de $dz$

La diferencial $dz$ se obtiene derivando $z$ con respecto a $\theta$: $dz = \frac{d}{d\theta}(z_0 + re^{i\theta}) d\theta = ire^{i\theta} d\theta.$

3. Sustitución en la Integral

Sustituimos la parametrización en la integral: $\int_{C} \frac{dz}{z - z_0} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ire^{i\theta} d\theta}{re^{i\theta}}.$

Simplificamos la expresión: $\int_{0}^{2\pi} \frac{i}{r} d\theta.$

4. Evaluación de la Integral

Evaluamos la integral resultante: $\frac{i}{r} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{i}{r} [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{i}{r} (2\pi - 0) = \frac{2\pi i}{r}.$

Conclusión

El valor de la integral de contorno es $\frac{2\pi i}{r}$. Esto demuestra que la integral de una función racional alrededor de un contorno que encierra una singularidad depende del residuo en la singularidad, aunque no hemos usado explícitamente el teorema de residuos.

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Preguntas Relacionadas

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Consejo

Al trabajar con integrales de contorno, siempre es crucial entender la naturaleza del contorno y las singularidades de la función para aplicar adecuadamente los métodos de cálculo.