Para resolver la integral $\int_{\gamma} z \exp(2 \pi i z^2) \, dz$ con $\gamma : [0,1] \to \mathbb{C}$ tal que $\gamma(t) = t^3 + it$, seguiremos estos pasos detalladamente:

1. Definir la parametrización de la curva $\gamma$: $\gamma(t) = t^3 + it, \quad t \in [0,1]$

2. Calcular $\gamma'(t)$: $\gamma'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + it) = 3t^2 + i$

3. Reescribir la integral en términos de $t$: $\int_{\gamma} z \exp(2 \pi i z^2) \, dz = \int_{0}^{1} \gamma(t) \exp(2 \pi i \gamma(t)^2) \gamma'(t) \, dt$

4. Sustituir $\gamma(t)$ y $\gamma'(t)$ en la integral: $\int_{0}^{1} (t^3 + it) \exp(2 \pi i (t^3 + it)^2) (3t^2 + i) \, dt$

5. Simplificar la expresión: $\gamma(t)^2 = (t^3 + it)^2 = t^6 + 2it^4 + i^2 t^2 = t^6 + 2it^4 - t^2$ $\exp(2 \pi i \gamma(t)^2) = \exp(2 \pi i (t^6 + 2it^4 - t^2))$ $= \exp(2 \pi i t^6 - 2 \pi t^4 - 2 \pi i t^2)$

6. Substituir todo en la integral: $\int_{0}^{1} (t^3 + it) \exp(2 \pi i t^6 - 2 \pi t^4 - 2 \pi i t^2) (3t^2 + i) \, dt$

7. Expandir el integrando: $(t^3 + it)(3t^2 + i) = 3t^5 + it^3 + 3it^3 - t = 3t^5 + 4it^3 - t$ $\exp(2 \pi i t^6 - 2 \pi t^4 - 2 \pi i t^2)$

8. Separar la integral: $\int_{0}^{1} (3t^5 + 4it^3 - t) \exp(2 \pi i t^6 - 2 \pi t^4 - 2 \pi i t^2) \, dt$

9. Calcular cada término por separado (usando integrales no elementales si es necesario, y considerando que no se puede usar Cauchy ni residuos):

   Para términos con funciones oscilatorias y exponenciales, una aproximación numérica o una serie de integraciones por partes podría ser necesaria. Sin embargo, dada la complejidad de las integrales involucradas, una solución analítica exacta es muy laboriosa sin recurrir a herramientas avanzadas de análisis complejo.

   $I = \int_{0}^{1} 3t^5 \exp(2 \pi i t^6 - 2 \pi t^4 - 2 \pi i t^2) \, dt$ $J = \int_{0}^{1} 4it^3 \exp(2 \pi i t^6 - 2 \pi t^4 - 2 \pi i t^2) \, dt$ $K = \int_{0}^{1} -t \exp(2 \pi i t^6 - 2 \pi t^4 - 2 \pi i t^2) \, dt$

Dado que el análisis de estos términos puede volverse bastante complejo, y sin herramientas avanzadas (Cauchy o residuo), una aproximación numérica o una evaluación simbólica podría ser considerada para encontrar la solución a estos integrales.

¿Quieres que expanda en algún paso específico, o tienes alguna pregunta adicional sobre cómo continuar con la resolución de estos integrales?

Aquí tienes 8 preguntas relacionadas para expandir el contenido:

1. ¿Qué otras técnicas numéricas podemos usar para evaluar integrales complejas?
2. ¿Cómo podríamos aproximar una integral oscilatoria usando series de Fourier?
3. ¿Cuáles son las aplicaciones prácticas de integrar funciones exponenciales complejas?
4. ¿Qué otras parametrizaciones son útiles en la teoría de curvas en el plano complejo?
5. ¿Cómo se deriva la fórmula para la derivada de una curva parametrizada?
6. ¿En qué contextos es más útil la parametrización polinómica para resolver integrales?
7. ¿Qué propiedades de las funciones analíticas se aplican en la integración de funciones complejas?
8. ¿Cuáles son las limitaciones de los métodos tradicionales en la integración compleja?

Tip: Cuando te enfrentas a integrales complejas, la simplificación previa del integrando y la parametrización adecuada de la curva pueden facilitar el cálculo.