Para la materia de Homotopía, calcula el mismo ejercicio y  pero No puedes usar Fórmulas de Cauchy ni Teorema de Residuos, pero puedes usar cualquier método para resolverlo

Para resolver la integral \( \int_{\gamma} z^3 \, dz \) donde \( \gamma(t) = e^{it} \sin^3 t \) en el intervalo \([0, \pi/2]\) sin usar la fórmula de Cauchy ni el teorema de residuos, seguiremos una aproximación directa utilizando parametrización y técnicas de integración.

La integral que queremos resolver es:

\[ \int_{\gamma} z^3 \, dz \]

donde \( z = \gamma(t) = e^{it} \sin^3 t \) con \( t \in [0, \pi/2] \).

1. **Parametrización de la curva:**

\[ z = \gamma(t) = e^{it} \sin^3 t \]

Para encontrar \( dz \), derivamos \( z \) con respecto a \( t \):

\[ dz = \frac{d}{dt} \left( e^{it} \sin^3 t \right) dt \]

Usamos la regla del producto:

\[ dz = \left( i e^{it} \sin^3 t + e^{it} \cdot 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

\[ dz = e^{it} \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

2. **Sustitución en la integral:**

\[ \int_{\gamma} z^3 \, dz = \int_0^{\pi/2} \left( e^{it} \sin^3 t \right)^3 \cdot e^{it} \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

Simplificamos \( z^3 \):

\[ z^3 = \left( e^{it} \sin^3 t \right)^3 = e^{3it} \sin^9 t \]

Entonces, la integral se convierte en:

\[ \int_0^{\pi/2} e^{3it} \sin^9 t \cdot e^{it} \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

\[ = \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^9 t \left( i \sin^3 t + 3 \sin^2 t \cos t \right) dt \]

Separando la integral:

\[ \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^9 t \cdot i \sin^3 t \, dt + 3 \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^9 t \cdot \sin^2 t \cos t \, dt \]

\[ = i \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^{12} t \, dt + 3 \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^{11} t \cos t \, dt \]

3. **Evaluación de las integrales:**

Primero, evaluamos la primera integral:

\[ i \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^{12} t \, dt \]

Usamos la sustitución \( u = \sin t \), \( du = \cos t \, dt \). En los límites \( t = 0 \) a \( t = \pi/2 \), \( u \) varía de 0 a 1:

\[ i \int_0^1 e^{4i \arcsin u} u^{12} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du \]

Para la segunda integral, utilizamos la misma sustitución \( u = \sin t \):

\[ 3 \int_0^{\pi/2} e^{4it} \sin^{11} t \cos t \, dt = 3 \int_0^1 e^{4i \arcsin u} u^{11} \, du \]

Evaluar estas integrales directamente puede ser muy complicado debido a la presencia de la función \( e^{4i \arcsin u} \). Sin embargo, sin usar Cauchy o residuos, podemos simplificar parcialmente evaluando numericamente o aplicando integración por partes en algunos casos:

Para ambas integrales, utilizamos una aproximación numérica o una transformación más compleja como \( z = e^{it} \sin^3 t \) y luego sumar ambas integrales.

Sin embargo, para simplificación podemos usar una expansión en serie o métodos numéricos avanzados.

¿Te gustaría seguir adelante con un método específico para la evaluación numérica o transformación avanzada, o necesitas más detalles sobre algún paso en particular?

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**Preguntas adicionales:**

1. ¿Cómo se parametriza una curva en el plano complejo?
2. ¿Qué es una integral de contorno en el plano complejo?
3. ¿Cómo se derivan funciones complejas?
4. ¿Qué es la regla del producto en cálculo diferencial?
5. ¿Cómo se simplifica la integral compleja resultante?
6. ¿Qué técnicas de integración pueden utilizarse para evaluar integrales con términos exponenciales complejos?
7. ¿Qué es una serie de Fourier y cómo puede aplicarse en este contexto?
8. ¿Cuáles son los pasos para la integración por partes en integrales complejas?

**Tip:** La utilización de series de Fourier puede simplificar muchas integrales complejas, especialmente cuando se trata de integrales con funciones trigonométricas y exponenciales complejas.

Learn how to solve a complex integral \( \int_{\gamma} z^3 \, dz \) using parametrization and direct integration techniques without relying on Cauchy's formula or residue theorem. This problem involves advanced concepts in complex analysis and integration methods.

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