برای محاسبه زاویه بین خط مشخص‌شده و قطب شمال، و زاویه از سطح افق در مختصات ECEF (Earth-Centered, Earth-Fixed)، باید ابتدا بردار خط را محاسبه کرده و سپس زوایای مورد نظر را به دست آوریم.

فرض کنیم مختصات نقطه شروع خط به صورت $[x, y, z]$ باشد و بردار واحد خط به صورت $[u_x, u_y, u_z]$ داده شده باشد.

زاویه با قطب شمال (زاویه سمت z)

زاویه بین بردار خط و محور z را می‌توان با استفاده از ضرب داخلی محاسبه کرد. این زاویه $\theta$ با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{z}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{z}\|}$

که در اینجا:

• $\mathbf{u} = [u_x, u_y, u_z]$ بردار واحد خط است.
• $\mathbf{z} = [0, 0, 1]$ بردار واحد محور z است.

بنابراین:

$\cos(\theta) = \frac{u_z}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}}$

و زاویه $\theta$ از فرمول زیر به دست می‌آید:

$\theta = \arccos\left(\frac{u_z}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}}\right)$

زاویه از سطح افق

زاویه بین بردار خط و سطح افق (یعنی زاویه با سطح xy) نیز مشابه محاسبه می‌شود. این زاویه $\phi$ با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$\cos(\phi) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{xy}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{xy}\|}$

که در اینجا:

• $\mathbf{u} = [u_x, u_y, u_z]$ بردار واحد خط است.
• $\mathbf{xy} = [u_x, u_y, 0]$ تصویر بردار خط بر روی سطح xy است.

بنابراین:

$\cos(\phi) = \frac{\sqrt{u_x^2 + u_y^2}}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}}$

و زاویه $\phi$ از فرمول زیر به دست می‌آید:

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{u_x^2 + u_y^2}}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}}\right)$

در نتیجه، دو زاویه مورد نظر به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

• زاویه با قطب شمال: $\theta = \arccos\left(\frac{u_z}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}}\right)$
• زاویه از سطح افق: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{u_x^2 + u_y^2}}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}}\right)$

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوال دیگری در این زمینه دارید؟

سوالات پیشنهادی:

1. چگونه مختصات ECEF را به مختصات ژئوگرافیک تبدیل کنیم؟
2. چگونه زاویه بین دو بردار را در فضای سه‌بعدی محاسبه کنیم؟
3. چگونه از مختصات ژئوگرافیک برای محاسبه فاصله بین دو نقطه استفاده کنیم؟
4. روش‌های محاسبه طول قوس بر روی کره زمین چگونه است؟
5. چگونه یک بردار واحد (unit vector) را در فضای سه‌بعدی محاسبه کنیم؟

نکته:

برای محاسبه دقیق زوایا، حتماً از توابع مثلثاتی به‌صورت صحیح و دقیق استفاده کنید و واحدها را به‌درستی مدیریت کنید.