A primeira questão trata-se de um problema de física que envolve a dinâmica de um bloco deslizando ao longo de uma calha com um segmento rugoso e uma mola. Vou analisar e resolver cada parte da questão.

Enunciado:

Um bloco de massa $m = 8,0 \, \text{kg}$ é solto a partir da posição $A$ (altura $h = 3,0 \, \text{m}$) e desliza ao longo de uma calha. A calha não tem atrito, exceto por um segmento rugoso entre os pontos $B$ e $C$ (comprimento $6,0 \, \text{m}$), onde o bloco colide com uma mola de constante elástica $k = 1800 \, \text{N/m}$, comprimindo-a $0,4 \, \text{m}$ antes de parar.

Vamos calcular:

a) Velocidade do bloco no ponto B:

Neste caso, podemos usar a conservação de energia para calcular a velocidade no ponto $B$.

A energia potencial gravitacional na posição $A$ é convertida em energia cinética no ponto $B$. A fórmula da energia potencial gravitacional é: $E_p = mgh$ Onde:

• $m = 8,0 \, \text{kg}$,
• $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$,
• $h = 3,0 \, \text{m}$.

A energia cinética no ponto $B$ é dada por: $E_k = \frac{1}{2} m v_B^2$ Onde $v_B$ é a velocidade no ponto $B$.

Como não há atrito até o ponto $B$, a energia potencial inicial é igual à energia cinética final: $mgh = \frac{1}{2} m v_B^2$

Podemos cancelar a massa $m$ de ambos os lados: $gh = \frac{1}{2} v_B^2$

Agora, isolamos $v_B$: $v_B = \sqrt{2gh}$

Substituindo os valores: $v_B = \sqrt{2 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 3,0 \, \text{m}} = \sqrt{58,86} \approx 7,67 \, \text{m/s}$

Portanto, a velocidade no ponto $B$ é aproximadamente $7,67 \, \text{m/s}$.

b) Energia cinética no ponto C:

A energia cinética no ponto $C$ pode ser determinada utilizando a energia potencial armazenada na mola quando ela está comprimida. A fórmula da energia potencial elástica é: $E_p = \frac{1}{2} k x^2$ Onde:

• $k = 1800 \, \text{N/m}$ (constante elástica da mola),
• $x = 0,4 \, \text{m}$ (compressão da mola).

Calculando a energia potencial armazenada na mola: $E_p = \frac{1}{2} \times 1800 \, \text{N/m} \times (0,4 \, \text{m})^2 = 144 \, \text{J}$

Essa energia é a energia cinética no ponto $C$, pois a mola absorve toda a energia do bloco no momento da colisão.

Portanto, a energia cinética no ponto $C$ é $144 \, \text{J}$.

c) Coeficiente de atrito no segmento rugoso:

O trabalho realizado pela força de atrito no segmento rugoso é responsável pela perda de energia mecânica. Sabemos que, quando o bloco chega ao ponto $C$, sua energia potencial foi convertida completamente em energia cinética e potencial elástica. A diferença entre a energia inicial do bloco e a energia final na mola será a energia dissipada pela força de atrito.

Primeiro, vamos calcular a energia inicial do bloco: $E_{\text{inicial}} = mgh = 8,0 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \times 3,0 \, \text{m} = 235,44 \, \text{J}$

Agora, a energia dissipada pela força de atrito é dada por: $E_{\text{atr}} = E_{\text{inicial}} - E_{\text{cinética no C}} - E_{\text{potencial na mola}}$

Ou seja: