Ini adalah masalah peluang dalam distribusi binomial, karena setiap pertanyaan ujian memiliki dua kemungkinan hasil: benar atau salah. Kita juga tahu bahwa probabilitas seorang mahasiswa menjawab dengan benar secara acak adalah $p = 0.25$, dan probabilitas menjawab salah adalah $q = 1 - p = 0.75$.

Secara umum, distribusi binomial dinyatakan dengan rumus berikut:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

di mana:

• $n$ adalah jumlah soal (nomor soal total),
• $k$ adalah jumlah jawaban benar yang diinginkan,
• $p$ adalah peluang untuk menjawab benar (dalam kasus ini $p = 0.25$),
• $q = 1 - p$ adalah peluang untuk menjawab salah,
• $\binom{n}{k}$ adalah koefisien binomial yang dihitung sebagai $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Untuk menjawab bagian-bagian soal, kita butuh mengetahui total jumlah soal dalam ujian tersebut (nilai $n$). Jika belum disebutkan, mari kita asumsikan ujian tersebut memiliki 10 soal (sehingga $n = 10$).

a) Peluang bahwa tepat 8 jawaban benar

Dengan asumsi $n = 10$, kita menghitung peluang mendapatkan tepat 8 jawaban benar, yakni $k = 8$.

$P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.25)^8 (0.75)^2$

b) Peluang bahwa lebih dari 6 jawaban benar

Ini berarti kita perlu menghitung peluang untuk mendapatkan 7, 8, 9, atau 10 jawaban benar:

$P(X > 6) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)$

c) Peluang bahwa ada 3 hingga 8 jawaban benar

Ini berarti kita menghitung peluang mendapatkan 3, 4, 5, 6, 7, atau 8 jawaban benar:

$P(3 \leq X \leq 8) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8)$

Mari kita hitung peluang-peluang ini menggunakan rumus distribusi binomial di atas.

Ingin saya hitung hasilnya dengan asumsi $n = 10$, atau Anda punya jumlah soal yang lain?