Die **Kettenregel** ist eine grundlegende Regel in der Differentialrechnung, die verwendet wird, um die Ableitung einer verketteten Funktion zu berechnen. Um die Kettenregel zu beweisen, betrachten wir zwei differenzierbare Funktionen \( f \) und \( g \), wobei die Funktion \( f \) von einer inneren Funktion \( g(x) \) abhängt, also \( h(x) = f(g(x)) \).

### Aussage der Kettenregel
Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung der Funktion \( h(x) = f(g(x)) \) gegeben ist durch:

\[
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]

### Beweis der Kettenregel

1. **Definition von \( h(x) \):**

   Wir definieren die Funktion \( h(x) \) als die Zusammensetzung der beiden Funktionen \( f \) und \( g \):

   \[
   h(x) = f(g(x))
   \]

2. **Ableitung von \( h(x) \):**

   Die Ableitung von \( h(x) \) wird definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten:

   \[
   h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}
   \]

   Ersetze \( h(x) \) durch \( f(g(x)) \):

   \[
   h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}
   \]

3. **Zwischenschritt durch Einführung eines Hilfsausdrucks:**

   Um den Ausdruck zu vereinfachen, führen wir den Hilfsausdruck \( \Delta g = g(x + \Delta x) - g(x) \) ein. Damit können wir den Differenzenquotienten umschreiben:

   \[
   h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta g) - f(g(x))}{\Delta x}
   \]

4. **Verwendung des Differenzenquotienten für \( g(x) \):**

   Wir können den Ausdruck \( \Delta g \) als \( \Delta g = g'(x) \cdot \Delta x + \text{kleinere Terme} \) schreiben. Wenn wir diesen Ausdruck einsetzen und den Grenzwert betrachten, erhalten wir:

   \[
   h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta g) - f(g(x))}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}
   \]

5. **Grenzwertanalyse:**

   Im ersten Term erkennen wir den Differenzenquotienten der Funktion \( f \) bezüglich ihrer Argumente, also die Ableitung von \( f \) an der Stelle \( g(x) \). Der zweite Term ist genau \( g'(x) \). Wir erhalten somit:

   \[
   h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
   \]

Das ist der Beweis der Kettenregel.

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### Verwandte Fragen:

1. Was ist der geometrische Hintergrund der Kettenregel?
2. Wie kann die Kettenregel auf höhere Ableitungen angewendet werden?
3. Was sind Beispiele für die Anwendung der Kettenregel in der Physik?
4. Wie wird die Kettenregel in der Integration verwendet (Substitutionsregel)?
5. Welche Fehlerquellen gibt es bei der Anwendung der Kettenregel?

**Tipp:** Um die Kettenregel besser zu verstehen, üben Sie das Ableiten von Funktionen, die in komplexen Zusammensetzungen vorliegen, wie z.B. \( \sin(\ln(x^2 + 1)) \).

Erfahren Sie, wie die Kettenregel in der Differentialrechnung angewendet wird. Schritt-für-Schritt-Beweis für die Ableitung von verketteten Funktionen mit detaillierten Erklärungen. Geeignet für Studierende auf Bachelor-Niveau.

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