Die Kettenregel ist eine Regel aus der Differentialrechnung, die besagt, wie die Ableitung einer verketteten Funktion gebildet wird. Angenommen, wir haben zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$, und wir betrachten die verkettete Funktion $h(x) = f(g(x))$. Die Kettenregel besagt dann, dass die Ableitung von $h(x)$ gegeben ist durch:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Beweis der Kettenregel:

1. Vorbereitung:

   • Sei $h(x) = f(g(x))$.
   • Wir wollen $h'(x)$ berechnen, also $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}$.

2. Differenz darstellen:

   • Wir betrachten den Differenzquotienten für $h(x)$: $h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta x}$

3. Einführung eines neuen Terms:

   • Wir führen einen neuen Term $\Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)$ ein, sodass $\Delta g$ gegen 0 geht, wenn $\Delta x$ gegen 0 geht.

4. Umformen des Differenzquotienten:

   • Wir können den Differenzquotienten umformen: $h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}$

5. Anwendung der Kettenregel für den Grenzwert:

   • Der erste Term ist die Definition der Ableitung von $f$ an der Stelle $g(x)$, also: $\lim_{\Delta g \to 0} \frac{f(g(x) + \Delta g) - f(g(x))}{\Delta g} = f'(g(x))$
   • Der zweite Term ist einfach $g'(x)$, also: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} = g'(x)$

6. Schlussfolgerung:

   • Zusammengesetzt erhalten wir die Ableitung von $h(x)$ als: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
   • Dies ist die Kettenregel.

Zusammenfassung: Die Kettenregel erlaubt es uns, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion $h(x) = f(g(x))$ durch das Produkt der Ableitung der äußeren Funktion $f'(g(x))$ und der Ableitung der inneren Funktion $g'(x)$ zu berechnen.

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Hier sind einige verwandte Fragen:

1. Wie funktioniert die Kettenregel bei Funktionen mit mehreren Variablen?
2. Kann die Kettenregel auf höhere Ableitungen angewendet werden?
3. Was passiert bei der Verkettung von mehr als zwei Funktionen?
4. Wie lässt sich die Kettenregel im Kontext der Integration anwenden?
5. Was ist ein praktisches Beispiel zur Anwendung der Kettenregel?

Tipp: Achten Sie darauf, die inneren und äußeren Funktionen korrekt zu identifizieren, wenn Sie die Kettenregel anwenden.