まず、袋1を選んで赤玉を取り出す確率、および事後確率をベイズの定理を用いて計算します。

ステップ1：事前確率の設定

袋は無作為に選ばれているので、各袋を選ぶ確率は等しく、それぞれ $\frac{1}{3}$ です。

• 袋1: $P(\text{袋1}) = \frac{1}{3}$
• 袋2: $P(\text{袋2}) = \frac{1}{3}$
• 袋3: $P(\text{袋3}) = \frac{1}{3}$

ステップ2：赤玉を取り出す確率

袋ごとの赤玉を取り出す確率を求めます。

1. 袋1には、赤玉と白玉の比率が $3:1$ です。したがって、赤玉の確率は： $P(\text{赤} | \text{袋1}) = \frac{3}{4}$

2. 袋2には、赤玉と白玉の比率が $1:3$ です。したがって、赤玉の確率は： $P(\text{赤} | \text{袋2}) = \frac{1}{4}$

3. 袋3には、赤玉と白玉が同数で含まれているので、赤玉の確率は： $P(\text{赤} | \text{袋3}) = \frac{1}{2}$

ステップ3：初回の赤玉を取り出す確率

赤玉を取り出す全体の確率 $P(\text{赤})$ は、全事象の確率の和として求めます： $P(\text{赤}) = P(\text{赤} | \text{袋1}) P(\text{袋1}) + P(\text{赤} | \text{袋2}) P(\text{袋2}) + P(\text{赤} | \text{袋3}) P(\text{袋3})$ $= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ $= \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} + \frac{2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

ステップ4：初回の赤玉の後の袋1の事後確率

初回の赤玉が出た後の袋1の事後確率 $P(\text{袋1} | \text{赤})$ はベイズの定理を使って求めます： $P(\text{袋1} | \text{赤}) = \frac{P(\text{赤} | \text{袋1}) P(\text{袋1})}{P(\text{赤})}$ $= \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

ステップ5：2回目も赤玉が出た場合の袋1の事後確率

2回目も赤玉が出たときの袋1の事後確率 $P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤})$ は、同様にベイズの定理を使って求めます。このとき、袋1が選ばれ続けている条件のもとで赤玉が2回出る確率を計算します。

各袋に対して、2回続けて赤玉を取り出す確率は：

• 袋1: $P(\text{赤}, \text{赤} | \text{袋1}) = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$
• 袋2: $P(\text{赤}, \text{赤} | \text{袋2}) = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$
• 袋3: $P(\text{赤}, \text{赤} | \text{袋3}) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$

よって、赤玉が2回続けて出る全体の確率は： $P(\text{赤}, \text{赤}) = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ $= \frac{9}{48} + \frac{1}{48} + \frac{3}{48} = \frac{13}{48}$

袋1の事後確率は： $P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤}) = \frac{P(\text{赤}, \text{赤} | \text{袋1}) P(\text{袋1})}{P(\text{赤}, \text{赤})}$ $= \frac{\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{13}{48}} = \frac{\frac{9}{48}}{\frac{13}{48}} = \frac{9}{13}$

ステップ6：3回目も赤玉が出た場合の袋1の事後確率

3回目も赤玉が出たときの袋1の事後確率 $P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤}, \text{赤})$ を同様に求めます。

各袋に対して、3回続けて赤玉を取り出す確率は：

• 袋1: $P(\text{赤}, \text{赤}, \text{赤} | \text{袋1}) = \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{27}{64}$
• 袋2: $P(\text{赤}, \text{赤}, \text{赤} | \text{袋2}) = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$
• 袋3: $P(\text{赤}, \text{赤}, \text{赤} | \text{袋3}) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} = \frac{8}{64}$

したがって、3回連続で赤玉が出る全体の確率は： $P(\text{赤}, \text{赤}, \text{赤}) = \frac{27}{64} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{64} \cdot \frac{1}{3}$ $= \frac{27}{192} + \frac{1}{192} + \frac{8}{192} = \frac{36}{192} = \frac{3}{16}$

よって、袋1の事後確率は： $P(\text{袋1} | \text{赤}, \text{赤}, \text{赤}) = \frac{P(\text{赤}, \text{赤}, \text{赤} | \text{袋1}) P(\text{袋1})}{P(\text{赤}, \text{赤}, \text{赤})}$ $= \frac{\frac{27}{64} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{3}{16}} = \frac{\frac{27}{192}}{\frac{3}{16}} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} = 0.750$

結果

1. 2回目の取り出し後の袋1の事後確率は $\frac{9}{13} \approx 0.692$ です。
2. 3回目の取り出し後の袋1の事後確率は $\frac{3}{4} = 0.750$ です。

何か質問がありますか？または他に解説が必要な点はありますか？

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追加問題

1. 赤玉が4回続けて出た場合の袋1の事後確率は