在空间中，已知两个基：(f) = (f1, f2, f3) 和 (g) = (g1, g2, g3)，其中向量 $g_1, g_2, g_3$ 在基 (f) 中的坐标分别为 $g_1 = (1;1;0)$, $g_2 = (2;4;3)$ 和 $g_3 = (1;4;5)$。要求将向量 $f_1, f_2, f_3$ 的坐标表示为基 (g) 中的坐标。

解题思路

1. 先把基 (g) 中的向量 $g_1, g_2, g_3$ 的坐标表示成基 (f) 中的坐标。
2. 构造基变换矩阵 $G$ ，其中矩阵 $G$ 的列向量分别是 $g_1, g_2, g_3$ 在基 (f) 中的坐标。
3. 计算 $G$ 的逆矩阵 $G^{-1}$，因为 $G^{-1}$ 是从基 (f) 转换到基 (g) 的变换矩阵。
4. 利用 $G^{-1}$ 矩阵，将 $f_1, f_2, f_3$ 的坐标从基 (f) 转换为基 (g) 中的坐标。

步骤

1. 基变换矩阵 $G$：

   \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$

2. 计算矩阵 $G$ 的逆矩阵 $G^{-1}$，从而可以找到 (f) 到 (g) 的转换关系。

3. 用 $G^{-1}$ 乘以单位基向量 $f_1, f_2, f_3$ 的坐标，即可得出它们在基 (g) 中的表示。

通过这种方法，可以求出 $f_1, f_2, f_3$ 在基 (g) 中的坐标。具体计算会涉及矩阵求逆运算。希望这个步骤可以帮助您理解如何进行基变换。

请问您是否需要更详细的计算过程，或者有其他疑问？

延伸问题

1. 如何在其他空间中求解类似的基变换问题？
2. 如何验证得到的基变换矩阵是否正确？
3. 在实数空间和复数空间中，基变换是否会有所不同？
4. 为什么逆矩阵可以用来完成基变换？
5. 是否可以通过不同的方法实现相同的基变换？

提示

在进行基变换时，确保所用的基是线性无关的，以便矩阵可逆。