В пространстве заданы два базиса: (f)=(f1, f2,f3) и (g)=(g1,g2,g3). Векторы g1, g2, g3 в базисе {f) имеют координаты соответственно: g1=(1;1;0), g2=(2;4;3) и g3=(1;4;5). Записать координаты векторов f1, f2, f3 в базисе (g). 中文回答

在三维空间中给定了两个基：\((f)=(f_1, f_2, f_3)\) 和 \((g)=(g_1, g_2, g_3)\)。已知基向量 \(g_1\), \(g_2\), \(g_3\) 在基 \((f)\) 中的坐标分别为：\(g_1=(1,1,0)\)，\(g_2=(2,4,3)\)，以及 \(g_3=(1,4,5)\)。

要求在基 \((g)\) 中写出向量 \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) 的坐标，即将基变换矩阵从 \((f)\) 转换到 \((g)\)。

### 解题思路：

1. **建立基变换矩阵**：将 \(g_1\), \(g_2\), \(g_3\) 的坐标向量 \((1,1,0), (2,4,3), (1,4,5)\) 分别作为矩阵的列，构成基变换矩阵 \(T\) 从基 \((f)\) 到基 \((g)\)：
   \[
   T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}
   \]

2. **求逆矩阵**：为了得到从基 \((g)\) 到基 \((f)\) 的逆变换矩阵 \(T^{-1}\)，可以通过求逆矩阵 \(T^{-1}\) 来实现。然后，将 \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) 在基 \((g)\) 中的坐标用该逆矩阵计算得出。

3. **计算基 \((f)\) 到 \((g)\) 的表示**：如果我们求出了 \(T^{-1}\)，将其作为基变换矩阵，这样 \(f_i\) 在基 \((g)\) 中的坐标就可以通过逆矩阵直接获得。

若需要进一步计算具体结果，请告诉我。

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有疑问或者需要更多细节吗？

### 延伸问题：
1. 如何求矩阵的逆矩阵？
2. 如果基向量数量不同，如何处理基变换？
3. 是否可以用不同的方式表示相同的基变换？
4. 什么情况下需要使用基变换？
5. 如何验证基变换结果的正确性？

#### 小提示：
矩阵的行列式不为零是矩阵可逆的必要条件。

Learn how to find the coordinates of basis vectors in a different basis. This problem explores the transformation between bases, using matrix inversion techniques to calculate coordinates of vectors f1, f2, and f3 in basis g, given g1, g2, g3 in basis f. Suitable for advanced linear algebra studies.

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