Чтобы найти угол между прямой $CC_1$ и плоскостью $CC_1D$ в кубе, давайте пошагово разберем задачу.

Шаг 1: Построение вектора, соответствующего прямой $CC_1$

Прямая $CC_1$ соединяет вершины $C$ и $C_1$. В кубе $C = (a, a, 0)$ и $C_1 = (a, a, a)$, где $a$ — длина ребра куба. Тогда вектор, направленный вдоль прямой $CC_1$, будет:

$\overrightarrow{CC_1} = C_1 - C = (a, a, a) - (a, a, 0) = (0, 0, a)$

Шаг 2: Нахождение нормали плоскости $CC_1D$

Плоскость $CC_1D$ образована точками $C$, $C_1$ и $D$. Вершины этих точек для куба следующие:

• $C = (a, a, 0)$,
• $C_1 = (a, a, a)$,
• $D = (0, a, 0)$.

Теперь найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\overrightarrow{CC_1} = (0, 0, a)$,
• $\overrightarrow{CD} = D - C = (0, a, 0) - (a, a, 0) = (-a, 0, 0)$.

Нормаль к плоскости можно найти с помощью векторного произведения этих двух векторов:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & a \\ -a & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Вычислим детерминант: $$\mathbf{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - a \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - a \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-a))$$ $$\mathbf{n} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(a^2) + \mathbf{k}(0)$$ $$\mathbf{n} = -a^2 \mathbf{j}$$ Итак, нормаль плоскости $$CC_1D$$ — это вектор $$\mathbf{n} = (0, -a^2, 0)$$. ### Шаг 3: Нахождение угла между прямой и плоскостью Чтобы найти угол между прямой $$CC_1$$ и плоскостью $$CC_1D$$, нужно воспользоваться следующим соотношением: $$\cos \theta = \frac{\left| \overrightarrow{CC_1} \cdot \mathbf{n} \right|}{\left| \overrightarrow{CC_1} \right| \cdot \left| \mathbf{n} \right|}$$ Сначала найдем скалярное произведение $$\overrightarrow{CC_1}$$ и нормали плоскости $$\mathbf{n}$$: $$\overrightarrow{CC_1} \cdot \mathbf{n} = (0, 0, a) \cdot (0, -a^2, 0) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-a^2) + a \cdot 0 = 0$$ Поскольку скалярное произведение равно нулю, это означает, что прямая $$CC_1$$ перпендикулярна плоскости $$CC_1D$$. ### Ответ: Угол между прямой $$CC_1$$ и плоскостью $$CC_1D$$ равен $$90^\circ$$. ### Дополнительные вопросы: 1. Как вычислить угол между двумя векторами? 2. Что такое векторное произведение и как его использовать для нахождения нормали к плоскости? 3. Как применяются скалярные произведения для нахождения углов между векторами и плоскостями? 4. Как найти угол между двумя плоскостями в пространстве? 5. Каково значение нормали для разных типов многогранников (например, пирамид)? **Совет:** Для более сложных задач полезно помнить, что угол между прямой и плоскостью всегда можно вычислить через угол между прямой и нормалью к плоскости, используя треугольные соотношения.