https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17286340070910a9atbxe.jpg

Дано задачу, де потрібно знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах \(\vec{a} = \vec{p} - 3 \vec{q}\) та \(\vec{b} = 2 \vec{p} - 4 \vec{q}\), за умови, що \(|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1\), а кут між векторами \(\vec{p}\) і \(\vec{q}\) дорівнює \(60^\circ\).

### Рішення:

1. **Знайдемо скалярні добутки векторів \(\vec{p}\) і \(\vec{q}\)**:
   \[
   \vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}| |\vec{q}| \cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
   \]
   
2. **Знайдемо квадрат довжини векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\)**:
   - Для \(\vec{a} = \vec{p} - 3\vec{q}\):
     \[
     |\vec{a}|^2 = (\vec{p} - 3\vec{q}) \cdot (\vec{p} - 3\vec{q}) = |\vec{p}|^2 + 9|\vec{q}|^2 - 6(\vec{p} \cdot \vec{q}).
     \]
     Підставляємо відомі значення:
     \[
     |\vec{a}|^2 = 1 + 9 - 6 \cdot \frac{1}{2} = 10 - 3 = 7.
     \]

   - Для \(\vec{b} = 2\vec{p} - 4\vec{q}\):
     \[
     |\vec{b}|^2 = (2\vec{p} - 4\vec{q}) \cdot (2\vec{p} - 4\vec{q}) = 4|\vec{p}|^2 + 16|\vec{q}|^2 - 16(\vec{p} \cdot \vec{q}).
     \]
     Підставляємо значення:
     \[
     |\vec{b}|^2 = 4 + 16 - 16 \cdot \frac{1}{2} = 20 - 8 = 12.
     \]

3. **Знайдемо скалярний добуток векторів \(\vec{a}\) і \(\vec{b}\)**:
   \[
   \vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{p} - 3\vec{q}) \cdot (2\vec{p} - 4\vec{q}) = 2(\vec{p} \cdot \vec{p}) - 8(\vec{p} \cdot \vec{q}) - 6(\vec{q} \cdot \vec{p}) + 12(\vec{q} \cdot \vec{q}).
   \]
   Підставляємо значення:
   \[
   \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 - 8 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot \frac{1}{2} + 12 \cdot 1 = 2 - 4 - 3 + 12 = 7.
   \]

4. **Знайдемо кут між діагоналями**:
   Кут \(\theta\) між діагоналями можна знайти за формулою:
   \[
   \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}.
   \]
   Підставляємо значення:
   \[
   \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{12}} = \frac{7}{\sqrt{84}} = \frac{7}{2\sqrt{21}}.
   \]

   Отже, кут \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{2\sqrt{21}}\right)\).

Якщо потрібно більше деталей або є питання, повідомте! Ось кілька додаткових запитань для розширення теми:

1. Як знайти кут між векторами, якщо дано їх координати в просторі?
2. Які властивості діагоналей паралелограма можна використовувати для спрощення задачі?
3. Як впливає модуль вектора на обчислення кутів між діагоналями?
4. Як застосовувати скалярний добуток для обчислення кутів в тривимірному просторі?
5. Як зміняться обчислення, якщо кут між векторами \(\vec{p}\) і \(\vec{q}\) дорівнюватиме \(90^\circ\)?

### Порада:
Завжди перевіряйте одиничність векторів перед обчисленнями, щоб спростити розрахунки та уникнути помилок.

Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах \(\vec{a} = \vec{p} - 3 \vec{q}\) і \(\vec{b} = 2\vec{p} - 4 \vec{q}\), якщо \(|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1\), а \(\angle (\vec{p}, \vec{q}) = 60^\circ\).

Learn how to find the angle between diagonals of a parallelogram constructed on vectors \(\vec{p}\) and \(\vec{q}\), given that \(|\vec{p}| = |\vec{q}| = 1\) and the angle between the vectors is \(60^\circ\). This solution involves vector algebra and the dot product formula. Suitable for Grades 11-12 or college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation