F(x) = x²/(x²-1).           Question : a) déterminer df ;b) calculer les limites au borne du df et interpréter les résultats ; c) calculer f'(x) et étude son signe ;d) dresser le tableau 

Analysons la fonction \( F(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} \) étape par étape :

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### a) Déterminer le domaine de définition (\( D_f \)) :

La fonction est définie si le dénominateur n'est pas nul :  
\[ x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1. \]

Ainsi, le domaine de définition est :  
\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}. \]

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### b) Calculer les limites aux bornes du \( D_f \) et interpréter les résultats :

**1. Limite en \( x \to 1^- \) :**  
\[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2}{(x-1)(x+1)} = -\infty. \]

**2. Limite en \( x \to 1^+ \) :**  
\[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{(x-1)(x+1)} = +\infty. \]

**3. Limite en \( x \to -1^- \) :**  
\[ \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{(x+1)(x-1)} = +\infty. \]

**4. Limite en \( x \to -1^+ \) :**  
\[ \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{(x+1)(x-1)} = -\infty. \]

**5. Limite en \( x \to +\infty \) et \( x \to -\infty \) :**  
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1, \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1. \]

**Interprétation** :  
- La fonction tend vers \( +\infty \) ou \( -\infty \) à proximité des asymptotes \( x = \pm 1 \).  
- La fonction admet une asymptote horizontale en \( y = 1 \) lorsque \( x \to \pm\infty \).

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### c) Calculer \( F'(x) \) et étudier son signe :

On utilise la formule de la dérivée du quotient :
\[ F'(x) = \frac{(x^2 - 1) \cdot 2x - x^2 \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1 - x^2)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}. \]

Le signe de \( F'(x) \) dépend de \( -2x \) :  
- \( F'(x) > 0 \) pour \( x < 0 \), sauf aux points d'exclusion \( x = -1 \).  
- \( F'(x) < 0 \) pour \( x > 0 \), sauf aux points d'exclusion \( x = 1 \).

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### d) Dresser le tableau de variation :

#### Étapes pour le tableau :
1. Domaine : \( \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).
2. Limites aux bornes et à \( \pm \infty \).
3. Dérivée pour les variations.

#### Résultat du tableau :
| \( x \)        | \( -\infty \) | \( -1^- \) | \( -1^+ \) | \( 0 \) | \( 1^- \) | \( 1^+ \) | \( +\infty \) |
|----------------|--------------|------------|------------|---------|-----------|-----------|--------------|
| \( F'(x) \)    | \( + \)      | \( + \)    | \( - \)    | \( 0 \) | \( - \)   | \( + \)   | \( - \)      |
| \( F(x) \)     | \( 1 \)      | \( +\infty \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( -\infty \) | \( +\infty \) | \( 1 \) |

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**En résumé :**
- \( F(x) \) croît sur \( ]-\infty, -1[ \cup ]-1, 0[ \).  
- \( F(x) \) décroît sur \( ]0, 1[ \cup ]1, +\infty[ \).  
- Les asymptotes verticales sont \( x = -1 \) et \( x = 1 \).  
- L’asymptote horizontale est \( y = 1 \).

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails sur un point spécifique ?  

### 5 questions pour approfondir :
1. Comment établir rigoureusement une asymptote horizontale ?
2. Pourquoi la dérivée change de signe au niveau de \( x = 0 \) ?
3. Quelle est l'interprétation géométrique des variations de \( F(x) \) ?
4. Comment utiliser un graphique pour vérifier les asymptotes ?
5. Que se passe-t-il si on modifie \( F(x) \) en \( F(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} \) ?

### Un conseil :  
Toujours vérifier les limites en \( \pm\infty \) pour identifier les asymptotes horizontales.

F(x) = x²/(x²-1). Question: a) déterminer df ; b) calculer les limites au borne du df et interpréter les résultats ; c) calculer f'(x) et étude son signe ; d) dresser le tableau

Explore the step-by-step analysis of the function F(x) = x²/(x²-1). Determine the domain of definition, calculate limits and interpret results, compute the derivative, and analyze the function's behavior. Perfect for advanced high school or early college calculus students.

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