Claro, vamos a hacer el análisis de la función $f(x) = \frac{1 - 2x^2}{x}$ enfocándonos en las asíntotas y la primera derivada.

1. Análisis de Asíntotas

Primero, vamos a ver las asíntotas de la función.

Asíntotas Verticales:

Las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador de la función se hace igual a 0, lo que indica una discontinuidad infinita. Aquí, el denominador es $x$, por lo tanto:

$x = 0$

Es decir, hay una asíntota vertical en $x = 0$.

Asíntotas Horizontales:

Las asíntotas horizontales se analizan observando el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $\infty$ o $-\infty$. Para $f(x) = \frac{1 - 2x^2}{x}$, vamos a ver el límite cuando $x$ tiende a $\infty$ y $-\infty$.

• Cuando $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - 2x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 2x = 0 - \infty = -\infty$

• Cuando $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 2x^2}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} - 2x = 0 + \infty = \infty$

Por lo tanto, no hay asíntota horizontal. La función crece de manera infinita en ambos extremos de $x$.

2. Primera Derivada de la Función

La primera derivada de la función nos ayuda a conocer la tasa de cambio y nos permite encontrar los puntos críticos.

La función es:

$f(x) = \frac{1 - 2x^2}{x}$

Aplicamos la regla del cociente para derivar:

$f'(x) = \frac{(x)(-4x) - (1 - 2x^2)(1)}{x^2}$

Simplificando el numerador:

$f'(x) = \frac{-4x^2 - (1 - 2x^2)}{x^2}$ $f'(x) = \frac{-4x^2 - 1 + 2x^2}{x^2}$ $f'(x) = \frac{-2x^2 - 1}{x^2}$

Por lo tanto, la derivada es:

$f'(x) = -2 - \frac{1}{x^2}$

3. Comportamiento de la Derivada

La derivada $f'(x) = -2 - \frac{1}{x^2}$ nos indica que:

• $f'(x)$ siempre es negativa para $x \neq 0$, ya que el término $-2$ siempre es mayor en valor absoluto que $\frac{1}{x^2}$, que es positivo. Esto significa que la función está decreciendo para todos los valores de $x \neq 0$.

Resumen:

• Asíntotas:

  • Asíntota vertical en $x = 0$.
  • No hay asíntotas horizontales.

• Primera derivada:

  • $f'(x) = -2 - \frac{1}{x^2}$, indicando que la función es decreciente para todos los valores de $x \neq 0$.

¿Te gustaría que profundice en algo más de esta función? ¿O tienes alguna pregunta específica sobre las derivadas?

Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el límite de una función cuando tiende a infinito?
2. ¿Qué significa que una función sea decreciente?
3. ¿Cómo se encuentra la derivada de una función racional?
4. ¿Qué pasa si la función tiene una discontinuidad en un punto?
5. ¿Cómo se analiza el comportamiento de una función en los extremos?

Tip: Siempre que te enfrentes a una función con cocientes, recuerda usar la regla del cociente para derivar.