Vamos a resolver el ejercicio 14.

Enunciado:

Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuentra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m de la liebre, esta acelera a $2 \, \text{m/s}^2$. Se pide calcular la velocidad mínima constante de la zorra para poder atrapar a la liebre.

Resolución:

Paso 1: Plantear las ecuaciones del movimiento

• Para la liebre, tenemos que su movimiento es uniformemente acelerado ($a = 2 \, \text{m/s}^2$): $x_{\text{liebre}}(t) = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} (2) t^2 = t^2$

• Para la zorra, su movimiento es uniforme, ya que viaja a velocidad constante ($v_{\text{zorra}} = v$): $x_{\text{zorra}}(t) = v t$

Paso 2: Igualar distancias para encontrar el tiempo

Para que la zorra alcance a la liebre, sus posiciones deben ser iguales. Consideramos que la zorra comienza 9 m detrás: $x_{\text{zorra}}(t) = x_{\text{liebre}}(t) + 9$

Sustituyendo las expresiones de $x_{\text{liebre}}(t)$ y $x_{\text{zorra}}(t)$: $v t = t^2 + 9$

Paso 3: Resolver la ecuación para $t$

Reorganizamos la ecuación: $t^2 - v t + 9 = 0$

Es una ecuación cuadrática en $t$. Aplicamos la fórmula general: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Aquí, $a = 1$, $b = -v$, $c = 9$. Entonces: $t = \frac{-(-v) \pm \sqrt{(-v)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{v \pm \sqrt{v^2 - 36}}{2}$

El tiempo debe ser positivo, así que tomamos la raíz positiva: $t = \frac{v + \sqrt{v^2 - 36}}{2}$

Paso 4: Condición para que $v$ sea mínima

Para que $t$ sea real, el discriminante debe ser mayor o igual a 0: $v^2 - 36 \geq 0$

Resolviendo: $v^2 \geq 36 \implies v \geq 6$

Por lo tanto, la velocidad mínima de la zorra para alcanzar a la liebre es: $\boxed{6 \, \text{m/s}}$

Respuesta final:

La velocidad mínima de la zorra es $6 \, \text{m/s}$, que corresponde a la opción a).

¿Te gustaría una explicación más detallada o un gráfico para ilustrar la solución?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas para ampliar tu conocimiento:

1. ¿Cómo cambiaría la solución si la distancia inicial fuera mayor?
2. ¿Qué pasaría si la zorra también acelerara en lugar de tener velocidad constante?
3. ¿Cuál sería la posición de la liebre después de 5 segundos?
4. ¿Cómo se vería el gráfico de posición vs tiempo para ambos?
5. ¿Cómo afectaría un aumento en la aceleración de la liebre al tiempo de encuentro?

Tip: Al resolver ecuaciones cuadráticas, verificar si el discriminante es positivo asegura la existencia de soluciones reales.