এখানে দুইটি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন রয়েছে:
ক. কত সময় পর উভয়ের বেগ সমান হবে?
খ. বিড়ালটি ইঁদুরটিকে কত সময় পর ধরতে পারবে?

প্রথমে, ইঁদুর এবং বিড়ালের প্রাথমিক গতিবেগ, ত্বরণ এবং দূরত্বগুলো ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করব।

প্রদত্ত তথ্য:

• ইঁদুরের প্রাথমিক বেগ, $v_{r} = 30 \, \text{m/s}$
• বিড়ালের প্রাথমিক বেগ, $v_{c_0} = 0 \, \text{m/s}$ (বিড়াল শুরুতে বিশ্রামে ছিল)
• বিড়ালের ত্বরণ, $a_c = 2 \, \text{m/s}^2$
• বিড়াল এবং ইঁদুরের মাঝে দূরত্ব, $d = 26 \, \text{m}$

ক. কত সময় পর উভয়ের বেগ সমান হবে?

বিড়ালটি সুষম ত্বরণে দৌড়াচ্ছে। সুতরাং, এর বেগ সময়ের সাথে লিনিয়ারভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে। আমরা ত্বরণ সূত্র ব্যবহার করে এটি হিসাব করতে পারি: $v_c = v_{c_0} + a_c t$ যেখানে,

• $v_c$ হচ্ছে বিড়ালের বেগ $t$ সময়ে,
• $a_c$ হচ্ছে ত্বরণ।

বিড়াল ও ইঁদুরের বেগ সমান হলে: $v_c = v_r = 30 \, \text{m/s}$

সুতরাং, $30 = 0 + 2t$ $t = \frac{30}{2} = 15 \, \text{seconds}$

উত্তর (ক): ১৫ সেকেন্ড পর উভয়ের বেগ সমান হবে।

খ. বিড়ালটি ইঁদুরটিকে কত সময় পর ধরতে পারবে?

বিড়ালটি ইঁদুরটিকে ধরবে যখন তাদের অবস্থান সমান হবে। এই অবস্থায় তাদের সমীকরণ হবে:

1. ইঁদুরের চলাচল: ইঁদুরটি প্রাথমিক $v_r = 30 \, \text{m/s}$ বেগে স্থির বেগে দৌড়াচ্ছে। সুতরাং, $t$ সময়ে ইঁদুরের স্থানচ্যুতি: $x_r = v_r t = 30t$

2. বিড়ালের চলাচল: বিড়ালটি শুরুতে বিশ্রামে ছিল এবং $2 \, \text{m/s}^2$ ত্বরণে দৌড়াচ্ছে। সুতরাং $t$ সময়ে বিড়ালের স্থানচ্যুতি: $x_c = \frac{1}{2} a_c t^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 = t^2$

এখন, বিড়াল এবং ইঁদুরের মধ্যে ২৬ মিটার দূরত্ব ছিল, তাই: $x_c = x_r - 26$

অতএব, সমীকরণ দাঁড়াবে: $t^2 = 30t - 26$

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ: $t^2 - 30t + 26 = 0$

এই সমীকরণটি সমাধান করতে আমরা সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করতে পারি: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ এখানে, $a = 1$, $b = -30$, এবং $c = 26$।

$t = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \times 1 \times 26}}{2 \times 1}$ $t = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 104}}{2}$ $t = \frac{30 \pm \sqrt{796}}{2}$ $t = \frac{30 \pm 28.22}{2}$

সুতরাং, $t$ এর দুটি মান হবে: $t = \frac{30 + 28.22}{2} = 29.11 \, \text{seconds}$ $t = \frac{30 - 28.22}{2} = 0.89 \, \text{seconds}$

যেহেতু $t = 0.89$ সেকেন্ডে কোন অর্থ নেই (এই সময়ে বিড়াল ইঁদুরের কাছাকাছি আসতে পারবে না), তাই গ্রহণযোগ্য সমাধান হল $t = 29.11$ সেকেন্ড।

উত্তর (খ): বিড়ালটি ইঁদুরটিকে ২৯.১১ সেকেন্ড পর ধরতে পারবে।

---

আপনার কি এই বিষয়গুলোর কোনো অংশ সম্পর্কে আরও বিস্তারিত জানতে আগ্রহ আছে?

নতুন প্রশ্ন:

1. যদি ইঁদুরটি বেগ বৃদ্ধি করে, তাহলে ধরতে সময় কত কমবে?
2. যদি বিড়ালের ত্বরণ পরিবর্তন করা হয়, ধরা সময় কিভাবে প্রভাবিত হবে?
3. ইঁদুরটি যদি একটি নির্দিষ্ট সময় পরে থেমে যায়, তাহলে কী হবে?
4. ইঁদুরটি কি একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব পরে বাঁক নেয়, তাহলে এই সমীকরণগুলি কিভাবে পরিবর্তিত হবে?
5. এই সমস্যাটি যদি কোনো ত্বরণ ছাড়া সমাধান করতে হয়, তাহলে কীভাবে সমাধান করা হবে?

টিপ: দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করতে, বর্গমূল অপারেশনের মাধ্যমে সমীকরণের মূলগুলো বের করার পদ্ধতি খুব কার্যকর।