Задача на определение производительности труда рабочего и ученика.

Обозначим:

• $x$ — производительность труда рабочего (в количестве деталей, которые он может изготовить за 1 час),
• $y$ — производительность труда ученика (в количестве деталей, которые он может изготовить за 1 час).

Из условия задачи известно, что:

1. Рабочий за 3 часа делает столько же деталей, сколько ученик за 5 часов. То есть:
   $3x = 5y \quad \text{(отношение их производительности)}.$

2. Ученик работал 2 часа, а затем вместе с рабочим они закончили оставшуюся работу за 2 часа. Всего было изготовлено 66 деталей. Рассмотрим, сколько деталей было сделано за эти 4 часа:

   • За первые 2 часа ученик сделал $2y$ деталей.
   • За следующие 2 часа (когда работали оба) вместе они сделали $2(x + y)$ деталей.

Итого, сумма всех деталей составляет 66: $2y + 2(x + y) = 66.$

Упростим это выражение: $2y + 2x + 2y = 66 \quad \Rightarrow \quad 4y + 2x = 66.$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $3x = 5y$,
2. $2x + 4y = 66$.

Решим эту систему.

Шаг 1. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = \frac{5}{3}y.$

Шаг 2. Подставим это значение $x$ во второе уравнение:

$2 \left( \frac{5}{3}y \right) + 4y = 66.$ Упростим: $\frac{10}{3}y + 4y = 66.$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{10}{3}y + \frac{12}{3}y = 66 \quad \Rightarrow \quad \frac{22}{3}y = 66.$ Умножим обе части на 3: $22y = 198.$ Теперь разделим на 22: $y = 9.$

Шаг 3. Найдем $x$:

Подставим $y = 9$ в выражение для $x$: $x = \frac{5}{3} \times 9 = 15.$

Таким образом, производительность труда рабочего $x = 15$ деталей в час, а производительность труда ученика $y = 9$ деталей в час.

Ответ:

• Производительность рабочего: 15 деталей в час.
• Производительность ученика: 9 деталей в час.

---

Если нужно объяснение, уточнение или другие вопросы, напишите!

Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как можно решить подобную задачу, если рабочий и ученик работают поочередно, а не вместе?
2. Как можно обобщить решение на более сложные ситуации с несколькими работниками?
3. Что будет, если рабочий и ученик будут работать одинаковое время, но их производительности разные?
4. Как найти минимальное время для выполнения задания, если изменить производительность работников?
5. Как использовать систему линейных уравнений для задач о совместной работе?

Совет: Всегда пытайтесь использовать системы линейных уравнений для задач с несколькими переменными, чтобы упорядочить решение.