Math Problem Statement

hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong .Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai sẽ làm được 3/4 công việc .tính thời gian mỗi người làm một mình xong việc

Solution

Để giải bài toán này, ta sẽ dùng phương pháp hệ phương trình.

Gọi:

  • xx là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc.
  • yy là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc.

Bước 1: Cấu trúc phương trình

Khi hai người làm chung, họ sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ. Vậy, trong một giờ, cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành 116\frac{1}{16} công việc. Do đó, công suất làm việc của mỗi người là:

  • Người thứ nhất có công suất 1x\frac{1}{x} công việc mỗi giờ.
  • Người thứ hai có công suất 1y\frac{1}{y} công việc mỗi giờ.

Vì hai người cùng làm trong 16 giờ nên công suất tổng cộng của họ là 116\frac{1}{16}, từ đó ta có phương trình đầu tiên:

1x+1y=116\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}

Bước 2: Phương trình thứ hai

Khi người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ, tổng công việc hoàn thành là 34\frac{3}{4}. Vậy công việc của họ là:

  • Người thứ nhất làm 15x\frac{15}{x} công việc.
  • Người thứ hai làm 6y\frac{6}{y} công việc.

Tổng công việc hoàn thành là 34\frac{3}{4}, ta có phương trình thứ hai:

15x+6y=34\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}

Bước 3: Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình:

  1. 1x+1y=116\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16}
  2. 15x+6y=34\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}

Đầu tiên, ta sẽ nhân phương trình (1) với 15 và phương trình (2) với 1 để dễ dàng so sánh:

15x+15y=1516\frac{15}{x} + \frac{15}{y} = \frac{15}{16} 15x+6y=34\frac{15}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}

Bây giờ ta trừ hai phương trình trên:

(15x+15y)(15x+6y)=151634\left( \frac{15}{x} + \frac{15}{y} \right) - \left( \frac{15}{x} + \frac{6}{y} \right) = \frac{15}{16} - \frac{3}{4}

Kết quả:

15y6y=15161216\frac{15}{y} - \frac{6}{y} = \frac{15}{16} - \frac{12}{16}

9y=316\frac{9}{y} = \frac{3}{16}

Giải phương trình này cho yy:

y=9×163=48y = \frac{9 \times 16}{3} = 48

Bước 4: Tính xx

Thay y=48y = 48 vào phương trình (1):

1x+148=116\frac{1}{x} + \frac{1}{48} = \frac{1}{16}

1x=116148\frac{1}{x} = \frac{1}{16} - \frac{1}{48}

Đưa về mẫu số chung:

1x=348148=248=124\frac{1}{x} = \frac{3}{48} - \frac{1}{48} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}

Vậy x=24x = 24.

Kết luận:

  • Người thứ nhất sẽ làm một mình xong công việc trong 24 giờ.
  • Người thứ hai sẽ làm một mình xong công việc trong 48 giờ.

Bạn có cần giải thích chi tiết hơn về cách giải bài toán này không?

Các câu hỏi liên quan:

  1. Làm thế nào để áp dụng phương pháp hệ phương trình trong các bài toán tương tự?
  2. Tại sao lại phải nhân các phương trình với các số khác nhau để giải hệ?
  3. Hệ phương trình có thể được giải bằng cách nào ngoài việc biến đổi theo cách này?
  4. Công suất làm việc có ảnh hưởng gì đến thời gian hoàn thành công việc không?
  5. Nếu có thêm một người thứ ba tham gia, công thức giải bài toán sẽ thay đổi như thế nào?

Mẹo: Trong các bài toán về công việc, luôn nhớ chuyển về công suất làm việc trong mỗi giờ của từng người để dễ dàng tính toán hơn.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Systems of Equations
Work Problems

Formulas

1/x + 1/y = 1/16
15/x + 6/y = 3/4

Theorems

Solving systems of linear equations
Work-rate problems

Suitable Grade Level

Grades 8-10