一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?

我们可以通过设定每个人的工作效率来解决这个问题。首先，设定甲的效率为 \( A \)，乙的效率为 \( B \)，丙的效率为 \( C \)，以每天完成的工作量来表示。

### 步骤 1：设定甲的工作效率
根据题目，甲单独完成全部工作需要72天，因此甲每天完成的工作量是：
\[
A = \frac{1}{72}
\]
即甲每天完成全部工作的 \(\frac{1}{72}\)。

### 步骤 2：根据给定信息确定甲、乙、丙合作时的总工作量
1. **甲工作1天：** 
   甲单独工作1天，完成的工作量是：
   \[
   1 \times A = \frac{1}{72}
   \]

2. **甲和乙合作2天：**
   甲和乙合作2天，甲的工作量是 \(2 \times A\)，乙的工作量是 \(2 \times B\)。所以两人完成的工作量是：
   \[
   2 \times A + 2 \times B = 2 \times \left(\frac{1}{72}\right) + 2 \times B = \frac{2}{72} + 2B = \frac{1}{36} + 2B
   \]

3. **甲、乙、丙合作4天：**
   甲、乙、丙三人合作4天，甲的工作量是 \(4 \times A\)，乙的工作量是 \(4 \times B\)，丙的工作量是 \(4 \times C\)。所以三人完成的工作量是：
   \[
   4 \times A + 4 \times B + 4 \times C = 4 \times \frac{1}{72} + 4 \times B + 4 \times C = \frac{4}{72} + 4B + 4C = \frac{1}{18} + 4B + 4C
   \]

4. **总共完成的工作量为全部工作的 \(\frac{1}{3}\)：**
   我们已经知道甲、乙、丙合作7天（1天、2天、4天）共完成了 \(\frac{1}{3}\) 的工作量。因此，总工作量为：
   \[
   \frac{1}{72} + \left(\frac{1}{36} + 2B\right) + \left(\frac{1}{18} + 4B + 4C\right) = \frac{1}{3}
   \]
   合并整理：
   \[
   \frac{1}{72} + \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + 2B + 4B + 4C = \frac{1}{3}
   \]
   把分数部分合并：
   \[
   \frac{1}{72} + \frac{2}{72} + \frac{4}{72} = \frac{7}{72} = \frac{1}{12}
   \]
   所以：
   \[
   \frac{1}{12} + 6B + 4C = \frac{1}{3}
   \]
   即：
   \[
   6B + 4C = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}
   \]
   因此：
   \[
   6B + 4C = \frac{1}{4} \quad \text{(方程1)}
   \]

### 步骤 3：8天后完成的工作量
题目还告诉我们，再经过8天后，完成了全部工作的 \(\frac{5}{6}\)。假设甲、乙、丙三人继续合作这8天，那么他们8天完成的工作量为 \(8A + 8B + 8C\)，此时完成的工作量为：
\[
\frac{1}{3} + 8 \times (A + B + C) = \frac{5}{6}
\]
因此：
\[
8 \times \left(\frac{1}{72} + B + C\right) = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
\]
解方程：
\[
8 \times \left(\frac{1}{72} + B + C\right) = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{1}{9} + 8B + 8C = \frac{1}{2}
\]
\[
8B + 8C = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}
\]
因此：
\[
8B + 8C = \frac{7}{18} \quad \text{(方程2)}
\]

### 步骤 4：解联立方程
由方程1和方程2，我们可以联立解出 \(B\) 和 \(C\)：
1. 从方程1：
   \[
   6B + 4C = \frac{1}{4}
   \]
   两边同时乘以2：
   \[
   12B + 8C = \frac{1}{2}
   \]
2. 和方程2联立：
   \[
   12B + 8C = \frac{1}{2}
   \]
   \[
   8B + 8C = \frac{7}{18}
   \]
   两个方程相减，得到：
   \[
   4B = \frac{1}{2} - \frac{7}{18} = \frac{9}{18} - \frac{7}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}
   \]
   因此：
   \[
   B = \frac{1}{36}
   \]

把 \(B = \frac{1}{36}\) 代入方程1，得到：
\[
6 \times \frac{1}{36} + 4C = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{1}{6} + 4C = \frac{1}{4}
\]
\[
4C = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}
\]
因此：
\[
C = \frac{1}{48}
\]

### 步骤 5：计算丙单独完成剩余工作的时间
丙每天完成的工作量为 \(C = \frac{1}{48}\)，剩余的工作量是：
\[
1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}
\]
因此，丙单独完成剩余工作的时间为：
\[
\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{48}} = 8 \text{天}
\]

### 答案：丙还需要8天完成剩余的工作。

如果你有问题，或者需要更多详细解释，请告诉我！

### 拓展问题：
1. 如果乙单独完成这项工作需要多少天？
2. 丙加入之前，甲和乙合作时的效率是多少？
3. 在甲单独完成的时间内，甲、乙、丙合作能完成多少工作？
4. 如果在甲乙丙合作8天后，还剩下 \( \frac{1}{4} \) 的工作量，丙需要多少天完成？
5. 如果丙比乙的效率高25%，甲乙丙合作时的总效率是多少？

#### 提示：
处理多人的合作工作问题时，善于利用效率和工作总量的关系式能让问题简化许多。

Solve a detailed work-efficiency problem where three workers, A, B, and C, collaborate to complete a job. A starts the work, then B and C join at different times. Learn how to calculate the remaining days needed for one worker to finish the job using algebraic equations and work-rate formulas. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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