Для решения задачи о дисперсии и среднеквадратическом отклонении доли основных рабочих по предприятию в целом, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определим долю основных рабочих в каждом цехе

Даны следующие данные:

• Цех 1: 80% основных рабочих из 100 человек.
• Цех 2: 75% основных рабочих из 200 человек.
• Цех 3: 90% основных рабочих из 150 человек.

Для каждого цеха доля основных рабочих будет:

• Цех 1: $p_1 = 0.80$
• Цех 2: $p_2 = 0.75$
• Цех 3: $p_3 = 0.90$

Шаг 2: Рассчитаем среднее значение доли основных рабочих на предприятии в целом

Средняя доля основных рабочих по предприятию (обозначим как $p_{\text{ср}}$) вычисляется как взвешенная средняя по цехам, где веса — это количество рабочих в каждом цехе:

$p_{\text{ср}} = \frac{N_1 p_1 + N_2 p_2 + N_3 p_3}{N_1 + N_2 + N_3}$

где:

• $N_1 = 100$, $N_2 = 200$, $N_3 = 150$ — численность рабочих в цехах,
• $p_1 = 0.80$, $p_2 = 0.75$, $p_3 = 0.90$ — доли основных рабочих в каждом цехе.

Подставим значения:

$p_{\text{ср}} = \frac{100 \times 0.80 + 200 \times 0.75 + 150 \times 0.90}{100 + 200 + 150} = \frac{80 + 150 + 135}{450} = \frac{365}{450} \approx 0.8111$

Средняя доля основных рабочих по предприятию составляет $p_{\text{ср}} \approx 0.8111$ или 81.11%.

Шаг 3: Рассчитаем дисперсию доли основных рабочих по предприятию

Дисперсия $\sigma^2$ доли основных рабочих на предприятии вычисляется по формуле для взвешенной дисперсии:

$\sigma^2 = \frac{N_1 (p_1 - p_{\text{ср}})^2 + N_2 (p_2 - p_{\text{ср}})^2 + N_3 (p_3 - p_{\text{ср}})^2}{N_1 + N_2 + N_3}$

Подставим значения:

$\sigma^2 = \frac{100 \times (0.80 - 0.8111)^2 + 200 \times (0.75 - 0.8111)^2 + 150 \times (0.90 - 0.8111)^2}{450}$

Вычислим каждую разницу и возведем в квадрат:

• $(0.80 - 0.8111)^2 \approx 0.00012321$
• $(0.75 - 0.8111)^2 \approx 0.00372421$
• $(0.90 - 0.8111)^2 \approx 0.00789121$

Теперь подставим значения в формулу:

$\sigma^2 = \frac{100 \times 0.00012321 + 200 \times 0.00372421 + 150 \times 0.00789121}{450}$

$\sigma^2 = \frac{0.012321 + 0.744841 + 1.185682}{450} = \frac{1.942844}{450} \approx 0.0043163$

Шаг 4: Рассчитаем среднеквадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение $\sigma$ — это квадратный корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{0.0043163} \approx 0.0657$

Ответ:

• Средняя доля основных рабочих по предприятию: $p_{\text{ср}} \approx 0.8111$ или 81.11%.
• Дисперсия доли основных рабочих: $\sigma^2 \approx 0.0043163$.
• Среднеквадратическое отклонение доли основных рабочих: $\sigma \approx 0.0657$.

Если вам нужно больше подробностей или разъяснений по вычислениям, не стесняйтесь задать вопросы!

5 дополнительных вопросов:

1. Как можно вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение, если для каждого цеха известно больше характеристик?
2. Как изменение численности рабочих в каждом цехе повлияет на среднее квадратическое отклонение?
3. Что такое взвешенная средняя и как она используется в других задачах?
4. Как бы изменилась дисперсия, если в одном из цехов доля основных рабочих была бы 100%?
5. В чем разница между дисперсией и стандартным отклонением, и в каких случаях проще использовать одно из этих значений?

Совет: Прежде чем решать задачи, всегда проверяйте, правильно ли вы поняли, что требуется найти: среднее, дисперсию, или стандартное отклонение.