Для решения задачи сначала вычислим среднюю долю основных рабочих по предприятию в целом, а затем найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли.

Шаг 1: Нахождение средней доли основных рабочих по предприятию

Для этого вычислим взвешенное среднее для доли основных рабочих, где веса — это численность рабочих в каждом цехе.

Обозначим:

• $p_1 = 80\% = 0.80$, $p_2 = 75\% = 0.75$, $p_3 = 90\% = 0.90$ — доли основных рабочих в 1, 2 и 3 цехах.
• $N_1 = 100$, $N_2 = 200$, $N_3 = 150$ — численность рабочих в этих цехах.

Средняя доля основных рабочих по предприятию $P_{\text{сред}}$ рассчитывается как взвешенное среднее:

$P_{\text{сред}} = \frac{N_1 p_1 + N_2 p_2 + N_3 p_3}{N_1 + N_2 + N_3}$

Подставим значения:

$P_{\text{сред}} = \frac{100 \times 0.80 + 200 \times 0.75 + 150 \times 0.90}{100 + 200 + 150}$ $P_{\text{сред}} = \frac{80 + 150 + 135}{450}$ $P_{\text{сред}} = \frac{365}{450} = 0.8111$

Таким образом, средняя доля основных рабочих по предприятию составляет $P_{\text{сред}} = 0.8111$ или $81.11\%$.

Шаг 2: Нахождение дисперсии

Дисперсия $D_P$ доли основных рабочих по предприятию рассчитывается по формуле для взвешенной дисперсии:

$D_P = \frac{N_1 (p_1 - P_{\text{сред}})^2 + N_2 (p_2 - P_{\text{сред}})^2 + N_3 (p_3 - P_{\text{сред}})^2}{N_1 + N_2 + N_3}$

Подставляем значения:

$D_P = \frac{100 \times (0.80 - 0.8111)^2 + 200 \times (0.75 - 0.8111)^2 + 150 \times (0.90 - 0.8111)^2}{100 + 200 + 150}$

Рассчитаем разности и их квадраты:

$(0.80 - 0.8111)^2 = (-0.0111)^2 = 0.00012321$ $(0.75 - 0.8111)^2 = (-0.0611)^2 = 0.00373221$ $(0.90 - 0.8111)^2 = (0.0889)^2 = 0.00790121$

Теперь подставим их в формулу для дисперсии:

$D_P = \frac{100 \times 0.00012321 + 200 \times 0.00373221 + 150 \times 0.00790121}{450}$ $D_P = \frac{0.012321 + 0.746442 + 1.1851815}{450}$ $D_P = \frac{1.9449445}{450}$ $D_P \approx 0.00432$

Дисперсия составляет $D_P \approx 0.00432$.

Шаг 3: Нахождение среднего квадратического отклонения

Среднее квадратическое отклонение $\sigma_P$ — это квадратный корень из дисперсии:

$\sigma_P = \sqrt{D_P} = \sqrt{0.00432} \approx 0.0657$

Среднее квадратическое отклонение составляет $\sigma_P \approx 0.0657$ или $6.57\%$.

Ответ:

• Средняя доля основных рабочих по предприятию: $81.11\%$
• Дисперсия доли основных рабочих: $0.00432$
• Среднее квадратическое отклонение доли: $6.57\%$

Если нужно больше деталей или пояснений по расчетам, не стесняйтесь спросить!

Дополнительные вопросы:

1. Как изменится средняя доля основных рабочих, если численность рабочих в цехах изменится?
2. Как бы изменилось среднее квадратическое отклонение, если доли основных рабочих в цехах были бы равны?
3. Какие методы существуют для вычисления взвешенной дисперсии в других случаях?
4. Что влияет на выбор коэффициента для вычисления дисперсии и среднего квадратического отклонения?
5. Как интерпретировать полученную дисперсию и стандартное отклонение в практическом контексте?

Совет: Чтобы легче ориентироваться в задачах с несколькими группами, всегда проверяйте, что у вас есть все данные о численности и долях для корректных вычислений.