В этом задании нужно вычислить объём тела, ограниченного поверхностями $z = x^2 + y^2$ и $z^2 = x^2 + y^2$. Давайте подробно разберём, как решить эту задачу.

1. Формулировка задачи

Уравнение $z = x^2 + y^2$ представляет собой параболоид, открывающийся вверх. Уравнение $z^2 = x^2 + y^2$ описывает конус с осью симметрии вдоль оси $z$.

Область тела ограничена:

• снизу: параболоидом $z = x^2 + y^2$;
• сверху: конусом $z = \sqrt{x^2 + y^2}$.

2. Метод решения

Объём тела можно найти, используя интеграл в цилиндрических координатах:

• $x = r\cos\theta$,
• $y = r\sin\theta$,
• $z = z$.

Интеграл будет выглядеть так: $V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{r^2}^r r \, dz \, dr \, d\theta,$ где:

• $r$ — радиус в полярной системе (от $0$ до $1$, так как обе поверхности пересекаются при $r = 1$);
• $\theta$ — угол (от $0$ до $2\pi$);
• $z$ изменяется от нижней границы $z = r^2$ до верхней границы $z = r$.

3. Решение интеграла

Вычисляем интеграл пошагово:

1. Интеграл по $z$: $\int_{r^2}^r r \, dz = r[z]_{r^2}^r = r(r - r^2) = r^2 - r^3.$

2. Интеграл по $r$: [ \int_0^1 (r^2 - r^3) , dr = \int_0^1 r^2 , dr - \int_0^1 r^3 , dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 - \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}. ]

3. Интеграл по $\theta$: $\int_0^{2\pi} \frac{1}{12} \, d\theta = \frac{1}{12} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{6}.$

4. Ответ

Объём тела равен: $\boxed{\frac{\pi}{6}}$

Если остались вопросы, уточните!

---

5 Вопросов для размышления:

1. Почему мы использовали цилиндрические координаты?
2. Как бы изменился интеграл, если бы тела пересекались в другой точке?
3. Какие ограничения должны быть у переменных $r$, $\theta$, $z$ для других типов тел?
4. Почему $z = r^2$ и $z = r$ задают конкретные границы тела?
5. Как преобразуются объёмные интегралы в сферических координатах?

---

Совет: Для интегралов объёма всегда полезно визуализировать области интегрирования!