Для вычисления объёма правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать несколько параметров: основание, высоту и двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания. Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Высота пирамиды $h = 6 \, \text{см}$.
• Двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.

Шаг 1: Определим радиус вписанной окружности

Для правильной треугольной пирамиды площадь основания можно вычислить, зная сторону основания $a$, и её связь с радиусом вписанной окружности, которая перпендикулярна боковой грани.

Но проще всего будет использовать геометрические соображения, связанные с двугранным углом между боковой гранью и плоскостью основания.

Из формулы для двугранного угла $\tan(\alpha) = \frac{h}{r}$, где $r$ — это радиус вписанной окружности треугольника.

Подставим известные значения: $\tan(30^\circ) = \frac{6}{r}$ Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим это значение: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{r}$ Решим для $r$: $r = 6 \sqrt{3} \, \text{см}.$

Шаг 2: Найдём площадь основания

Площадь основания правильной треугольной пирамиды можно вычислить через радиус вписанной окружности. Формула для площади правильного треугольника с радиусом вписанной окружности $r$ имеет вид: $S_{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} r^2$ Подставим $r = 6 \sqrt{3}$: $S_{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times (6 \sqrt{3})^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 108 = 162 \, \text{см}^2.$

Шаг 3: Вычислим объём пирамиды

Объём правильной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h$ Подставим значения: $V = \frac{1}{3} \times 162 \times 6 = 324 \, \text{см}^3.$

Ответ:

Объём пирамиды равен $324 \, \text{см}^3$.

Если вам нужны дополнительные подробности или пояснения, пожалуйста, уточните!

---

Дополнительные вопросы:

1. Как вычисляется радиус вписанной окружности правильного треугольника?
2. В чём разница между правильной и неправильной треугольной пирамидой?
3. Что такое двугранный угол и как его можно вычислить для других фигур?
4. Как изменится объём пирамиды, если высота увеличится в два раза?
5. Какие существуют способы нахождения площади основания правильной пирамиды?

Совет:

Запоминайте важные формулы для объёмов и площадей геометрических фигур, чтобы легко и быстро решать задачи.